10

Повторение испытаний (схема бернулли)

Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p или не появиться с вероятностью q=1-p.

Поставим следующую задачу. Определить вероятность того, что в результате проведения независимых испытаний событие А наступает ровно к раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с вероятностью Р(А)=р.

Искомую вероятность будем обозначать Р_m(к), т.е. например, запись Р₄(2) означает вероятность того, что в 4-х испытаниях событие А появилось ровно 2 раза.

Непосредственное использование теорем сложения и умножения с увеличением числа испытаний приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому на практике для решения таких задач используют менее трудоемкие методы расчетов.

Формула Бернулли

Так как нас интересует вероятность того, что событие А наступит в n испытаниях ровно к раз, то в остальных n-к испытаниях событиях А не наступит, а наступит противоположное ему событие Ω – А = . При этом событие А в n испытаниях может появиться ровно к раз в самых разных комбинациях, в которых порядок появления событий А и не имеет никакого значения, а следовательно, число таких комбинаций равно числу сочетаний из n элементов по k, т. е. С.

Рассмотрим, чему равна вероятность появления каждой такой комбинации из k раз появляющегося события А и n-k раз появляющегося события .

Обозначим через А_i (i=1,2, …,n) появление события А в i- ом испытании, а через _i – его не появление в том же испытании. Тогда в силу постоянства условий испытания

Р(А₁) = Р(А₂) = … = Р(А_n) = P(А) = p,

.

Примером возможной комбинации, в которой событие А появится k раз, может служить событие

.

По условию испытания независимы, поэтому, используя теорему умножения для независимых событий, получим:

.

Так как все комбинации, подобные комбинации В, являются несовместными событиями и нам безразлично в какой именно последовательности появится событие А, а в какой , то применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим

. (12)

Полученная формула (12) носит название формулы Бернулли.

Примеры.

1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей 4 окажутся стандартными.

Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний в одинаковых условиях, поэтому, применяя формулу (12) при n=6, k=4 и p=0,9, получим

и помня, что

, т.е.

имеем:

.

2. Игральную кость бросили 4 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпала ровно 2 раза.

Вероятность выпадения шестерки при каждом отдельном бросании кости равна р= и поскольку в этой задаче n=4, k=2, ,

искомая вероятность равна

.

3. Найти вероятность того, что при трех бросаниях монеты герб появится хотя бы один раз.

Событие, состоящее в том, что герб появился хотя бы один раз в трех бросаниях монеты эквивалентно тому, что герб появится или 1, или 2, или 3 раза. Следовательно, по теореме сложения независимых событий искомая вероятность может быть найдена по формуле:

P₃(k1)=P₃(1)+P₃(2)+P₃(3),

Поскольку вероятность выпадения герба в одном бросании р= , а решки –

q=1-p=1-,

то искомая вероятность равна

.

Эта задача имеет и другое, более короткое решение. Интересующее нас событие произойдет в любом случае, кроме одного – если герб не выпадет в трех бросаниях ни разу. То есть событие А – герб выпадет хотя бы один раз в трех бросаниях и событие В – герб не выпадет ни разу, являются противоположными, т. е. В=, а следовательно искомая вероятность P(A)=1-P() и поскольку P(A)=P₃(k1), а P()=P₃(0), то

P₃(k1)=1-P₃(0)=1-.

Локальная теорема Лапласа

Нетрудно видеть, что использование теоремы Бернулли при достаточно большом количестве повторных испытаний приводит к необходимости оперировать очень большими числами. Так, например, при попытке использовать формулу Бернулли для решения следующей задачи: определить вероятность того, что при проверке 400 изделий из партии, содержащей 20% бракованных изделий, 80 изделий окажутся бракованными, нам пришлось бы провести следующие вычисления:

.

Подобных сложностей можно избежать, используя локальную теорему Лапласа.