Примеры:

1. Задача о выигрыше в спортлото.

Найти вероятность главного выигрыша в спортлото 5 из 36.

Задачу можно интерпретировать следующим образом: имеется урна, содержащая 36 шаров, занумерованных числами от I до 36. Вычеркивание цифр в карточке можно отождествить случайный выбор шаров из урны без возвращения, причем порядок вынимаемых шаров несущественен (безразлично, в каком порядке за­черкиваются цифры в карточке). Как показано, всего способов извлечь 5 шаров из урны, без возвращения шаров в урну и без учета порядка в группе выбранных шаров. При этом главный выигрыш будет только при одной из этих комбинаций, когда номера шаров (зачеркнутых цифр) совпадут с пятью числами "выигрышной серия". Поэтому искомая вероятность равна

.

2. Задача о днях рождения.

Найти вероятность того, что в группе из 25 человек ни у кого не совпадают дни рождения.

В рамках урновой системы задачу можно интерпретировать так: в урне имеется З65 шаров, занумерованных числами от 1 до 365. Из урны случайным образом выбирается 25 шаров. Легко заметить что искомая вероятность определяется по формуле

Точное вычисление этой вероятности довольно утомительно, но легко получить для нее хорошую приближенную формулу. Действительно, при малых значениях х ln(1-х) -x. Поэтому

Откуда

.

Гипергеометрическое распределение

В урне находится n шаров, из них n₁ - красных и n₂=n-n₁ - черных. Из урны вынимаются случайным образом r шаров (по одному без возвращения). Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет ровно k красных.

Занумеруем шары в урне. Т.к. выбранные шары обратно не возвращаются и порядок, в котором располагаются выбранные шары несу­ществен, то общее число способов, сколькими можно выбрать r ша­ров из n равно С. k красных шаров можно выбрать изn₁ красных способами, а т.к. любой способ выбора красных шаров может комбинироваться с любым способом выбораr-k черных (из n-n₁ черных шаров, имеющихся в урне), то искомая вероятность равна:

(5)

Формула (5) (0≤k≤r≤n₁≤n ) называется гипергеометрическим распределением.

Пример. Оценка генеральной совокупности по выборке.

Из озера вылавливается 1000 рыб. Каждая рыба метится красным пятнышком и отпускается в озеро. Через некоторое время снова выловлено 1000 рыб. Среди них оказалось 100 меченых. Что можно сказать об общем числе рыб в озере?

Эта задача - типичная задача статистической оценки: по результатам некоторого эксперимента необходимо оценить неизвестное (но вполне определенное) значение некоторого параметра (в данном случае число рыб в озере).

Обозначим через

n - число рыб в озере (неизвестное);

n₁ -число рыб, пойманных при первом улове;

r - число рыб, пойманных при втором улове;

k - число меченных рыб, пойманных при втором улове;

P(A) - вероятность того, что второй улов содержит ровно k меченных рыб. Из формулы (5), зная вероятность P(A), можно найти n.

7