4. Возникновение и развитие теории групп

В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических уравнений. Складывающаяся теория групп была еще преимущественно теорией конечных групп - групп подстановок. К середине века выяснилось, что понятие группы имеет более широкое применение.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы из теории групп. Кэли внес огромный вклад в развитие абстрактной теории конечных групп. Им было выяснено, что наиболее важные свойства группы зависят не от характера элементов подстановки, а от групповой операции. Это произошло в 50-х годах XIX века. Тогда работы Кэли не были замечены мировым сообществом. Лишь спустя некоторое время, они обрели известность и даже использовались как учебники.

Процесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с 1870 года. Теория групп была популяризована Серретом, который посвятил теории групп секцию из своей книги по алгебре. Он проделал большую работу и включил в свои лекции по алгебре в Сорбонне большие части теории Галуа.

Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Политехнической школы, а также Коллеж де Франс, Камилла Жордана (1838-1922). В 1865 г. появляется первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа» (Commentaires sur le memoire de Galois.- С. г. Acad. sci. Paris), в 1869 г. ее продолжение «Комментарии к Галуа» (Commentaires sur Galois.- Math. Ann.), Затем появились работы Жордана - «Действия над подстановками» («Traité des Substitutions et des equations algebriques»,) Эта монография стала классикой. В ней были подытожены результаты теории конечных групп в применении к теории чисел, теории функций и алгебраической геометрии. Однако, хотелось бы отметить, что у Жордана еще не было определения группы, такого, каким мы его знаем сейчас. Оно появилось не сразу. Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

Немалую роль в популяризации теории групп сыграл Евгений Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Стоит также сказать, что до определенного момента большинство математиков рассматривало в основном конечные дискретные группы. Однако к концу XIX века на сцене появились бесконечные группы, а также непрерывные. В частности, в 1884 г. Софус Ли положил начало изучению групп преобразований . Эти группы сейчас называют группами Ли. За его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных бесконечных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

К концу XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла высокого уровня. Появился ряд сводных трактатов, содержащих ее систематическую разработку. В это же время появились первые приложения теории групп. Здесь можно, например, упомянуть имена таких ученых, как: Фёдоров, Шенфлис , Клейн.

В начале XX века ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.