3.3 Вклад Нильса Генрика Абеля

Дальнейшее развитие теории алгебраических уравнений связано с именем норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829). Он осуществил доказательство неразрешимости в радикалах уравнений выше пятой степени.

Как было сказано ранее, поиски подходящей формы иррациональности для решения того или иного класса алгебраических уравнений сменились уверенностью, что, по-видимому, это невозможно. Задача обернулась; необходимым оказалось исследовать наиболее общие выражения, содержащие радикалы, с тем чтобы выяснить, могут ли они быть выражениями корней алгебраического уравнения пятой степени. По этому пути и повел свои исследования в самом конце XVIII в. П. Руффини. В 1799 г. он опубликовал «Общую теорию уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени». Но первый реальный успех выпал на долю скромного Абеля.

Еще в школе (около 1820 г.) Абель заинтересовался проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он дал доказательство разрешимости в радикалах уравнения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это доказательство содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило свою хорошую службу. Абель получил государственную стипендию и возможность поехать в Европу для усовершенствования в математике.

Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность разрешимости общего уравнения пятой степени». В нем Абель, по-видимому независимо от Руффини, шел тем же путем; он стремился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось на предположение, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни данного уравнения.

Только в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую» многовековая проблема получила удовлетворительное разрешение.

В своей работе Абель сделал приблизительно следующее:

1) Были построены наиболее общего вида алгебраические функции

где - простое, - алгебраические функции того же порядка, что и , но степени не выше, чем . А также - алгебраическая функция порядка на единицу ниже, чем , построенная так, что она не выражается рационально через . Применительно к рассмотренным конструкциям Абель доказал, что если уравнение алгебраически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составляется, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения.

2) Был рассмотрен вопрос о подстановках и о числе различных значений, которые при этом могут принимать функции нескольких переменных.

) Было показано, что никакое самое общее радикальное выражение не может быть универсальным выражением корней уравнения данной степени, большей чем четвертая.

Стоит отметить, что доказательства Абеля не дают возможности выделить классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не снимают также возможности такой разрешимости для уравнений с численными коэффициентами подбором подходящих иррациональностей в конкретном случае. Исследования надо было расширять. Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем, встала общая проблема разрешимости - основная проблема классической теории Галуа.

Перед смертью Абель работал над задачей определения всех алгебраически разрешимых уравнений. В 1829 году Абель в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» исследовал циклические уравнения, следуя в за Лагранжем, который обнаружил этот класс в свое время. Абель отыскал для них явные выражения корней через коэффициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых уравнений, которые по существу являются нормальными уравнениями с коммутативной (абелевой) группой Галуа.

Опираясь на информацию из книги [Колмогорова] расскажем подробнее о содержании мемуара Абеля 1829 г.

Первым и очень важным шагом было явное введение понятия области рациональности, аналога современного понятия поля. Абель дал следующее определение:

Область рациональности относительно величин - это множество всевозможных величин, полученных из величин и вещественных (или рациональных) чисел с помощью четырех арифметических действий (конечно, слово множество им не употреблялось).

Введение этого понятия крайне существенно для сколько нибудь общих исследований в теории уравнений.

Вторым существенным шагом является доказательство разрешимости замечательного класса уравнений. Этот класс Абель определяет двумя условиями:

. Каждый корень уравнения выражается в виде рациональной функции от фиксированного корня .

. Рациональные функции обладают свойством .

Идея работы возникла у Абеля при исследовании уравнения лемнискаты, о котором упоминает Гаусс в «Арифметических исследованиях». Работа Абеля существенно дополняет и развивает идеи Гаусса и является заметным вкладом в теорию алгебраических уравнений.

Подводя итог данному разделу, хотелось бы сказать следующее.

Работы Абеля принесли большую пользу. Их появление приблизило момент, когда теория групп стала появляться везде и всюду и царствовать в математике. Абель по сути доказал теорему эквивалентную теореме Галуа:

Чтобы неприводимое уравнение было разрешимо в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были рациональными функциями двух известных корней.

Абель исследовал структуру нескольких конкретных классов разрешимых групп. Фактически Абель исследовал структуру коммутативных групп. Он показал, что эти группы являются произведениями циклических групп. Однако понятие группы у него еще не было выделено. Кроме того, общего критерия разрешимости он не получил.