3.7.4 Труды Коши

В 1815 г. О.-Л. Коши опубликовал в «Журнале Политехнической школы» два мемуара, в которых исследовал задачу, возникшую в теории уравнений : найти число значений, которые может принимать некоторая функция при всевозможных перестановках входящих в нее величин. Формулировка этой задачи и вошла в название первого мемуара. В нем Коши обрисовал контуры системы понятий, в которой развивается теория подстановок, а затем и теория групп.

Если некоторая функция зависит от n переменных, то число М различных значений, которые она может принимать при перестановке переменных, является делителем n! , а число подстановок, оставляющих эту функцию инвариантной, равно n!/ М и они образуют группу.

Этот результат уже был доказан Лагранжем, но Коши пошел значительно дальше. Он изобрел двух строчное обозначение для подстановок: образ каждого символа располагался во второй строке под этим символом. Коши изучил то, что сейчас называется циклической группой, порожденной данной подстановкой S порядка n.

Однако, как отмечет в своей книге Даальмедико, Коши еще не пользовался для обозначения подстановки одним единственным символом, как это сделал Галуа.

Впоследствии, эти мемуары Коши были прочитаны Абелем и Галуа в 1826-1832 гг., но сам Коши потерял интерес к этим вопросам почти на тридцать лет. Лишь в 1844-1846 гг., за несколько месяцев до публикации Лиувиллем наследия Галуа (см. выше), Коши вернулся к этой теме и опубликовал большой мемуар «О размещениях, которые можно составить из данных букв», а также многочисленные заметки в «Отчетах» Академии.

Эти новые работы Коши вместе составили систематическое исследование корректно определенной структуры - группы подстановок n букв; эта группа имеет порядок n! и называется ныне симметрической группой Sn. Здесь впервые изучение подстановок выходит за рамки теории уравнений. Группы подстановок - Коши называл их «системами сопряженных подстановок» - стали самостоятельным объектом

Коши в этой своей работе основал настоящее исчисление подстановок, используя при этом все направления и возможности разработанных им операторных методов.

Хотя, как отмечается в литературных источниках, это исчисление подстановок Коши не имело определенной цели, и понадобился толчок со стороны теории уравнений, чтобы проявилось все богатство теории подстановок. Этот толчок сделал Галуа.

Тем самым, Коши бесспорно внес вклад в обновление алгебры, наметившееся во второй половине XIX в.: исследование алгебраических структур как самостоятельных объектов и осознание роли операций. Хотя понятие группы он все таки четко не осознавал и идеи Галуа, когда тот представил работы на соискание награды в Академию наук, видимо не понял и не посчитал её достойной внимания.

Заключение

Итак, мы рассмотрели основные предпосылки возникновения теории групп. Многие выдающиеся ученые, такие как Лагранж, Гаусс, Коши и др., в своих работах изучали свойства групп. Но это проходило на скрытом уровне. Они действовали сообразно своей блестящей интуиции, но до конца еще не осознавали понятие группы.

Группы в работах этих ученых неявно возникали в связи с рассмотрением разных задач. Тем не менее, главной проблемой, стимулирующей появление понятия группы, был вопрос о разрешимости уравнений в радикалах. И именно исследование этого вопроса привело к наиболее радикальным последствиям.

Так что, по праву поворотным пунктом в возникновении теории групп можно опубликование в 1846 г. основных работ Галуа. Особое значение их для теории групп состоит в том, что впервые было продемонстрировано, что решение старинного, важного вопроса может быть сведено к исследованию ново го объекта - групп. Впервые группы выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования.

Вскоре после работ Галуа началось уже систематическое развитие теории групп.