5.10 Применение методов теории групп к задачам управления

Методы теории групп имеют применение к задачам управления. Особое значение здесь имеют группы Ли.

Возможность применения методов теории групп Ли к решению задач управления основана на связи между задачами управления и уравнениями Рикатти

Уравнения Риккати в каком-то смысле весьма универсально и появляется во многих прикладных областях. Это уравнение с самого своего появления в 1724 году является предметом пристального внимания ученых. В настоящее время название "уравнение Риккати" обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью.

Каждая новая идея в исследовании дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли показал, что уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментальную систему решений.

Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и далеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия, теория конформных отображений, теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем, применение теории Бэклунда в квантовой теории поля, вариационное исчисление). Уравнение Риккати занимает особое место в теории оптимального управления.

Вообще, в теории управления имеется много математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния, другие задачи). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати . Например, при решении задач об оптимальной стабилизации и об аналитическом конструировании регуляторов для линейных систем возникает необходимость решать задачи Коши для соответствующих матричных уравнений Риккати.

Стоит также заметить, что в теории управления системами с распределенными параметрами в некоторых случаях возникает необходимость рассматривать различные обобщения уравнения Риккати в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении тепловыми и диффузионными процессами.

Итак, мы увидели, что имеется связь между задачами теории управления и уравнениями Рикатти. В свою очередь для эффективного решения матричных дифференциальным уравнений Риккати имеются методы, основанные на применении методов теории групп Ли. И таким образом, мы получаем эффективные теоретико -групповые методы решения задач управления.

5.11 Теории групп и биология

Как уже стал понятно, теория групп имеет тесную связь с понятием симметрии. Это позволило ей найти свое применение в некоторых областях биологии. В частности, теория групп имеет приложение к описанию псевдосимметрий в биологических объектах. К примеру, можно применить язык теории групп при описании симметрий и псевдосимметрий актиноморфных и зигоморфных цветков. В этом аспекте язык теории групп становится очень удобным инструментом.

Также, теория групп имеет определенную связь с некоторыми проблемами терминологии биосимметрики.

Адаптация теории групп к описанию симметрий биообъектов важна не только в фундаментальном плане, но и как средство взаимопонимания между биологами, физиками, кристаллографами и другими специалистами, языком общения между которыми, может служить математика.