Обзор возможностей gap

Система GAP была задумана как инструмент комбинаторной теории групп - раздела алгебры, изучающего группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. В дальнейшем, с выходом каждой новой версии системы сфера ее применения охватывала все новые и новые разделы алгебры. В разнообразии областей алгебры, охватываемых GAP сегодня, можно убедиться, даже только лишь прочитав названия разделов обширнейшей документации по системе, занимающей около 1500 страниц (которая, кстати, не только входит в состав дистрибутива, но и доступна через Интернет). Вычислительная мощь системы может быть продемонстрирована находящимся на ее сайте примером определения того, что кубик Рубик имеет 43252003274489856000 различных состояний, и сборки кубика Рубика из произвольного начального состояния в среднем за 100 ходов.дает возможность производить вычисления с гигантскими целыми и рациональными числами, допустимые значения которых ограничены только объемом доступной памяти. Далее, система работает с циклотомическими полями, конечными полями, p-адическими числами, многочленами от многих переменных, рациональными функциями, векторами и матрицами. Пользователю доступны различные комбинаторные функции, элементарные теоретико-числовые функции, разнообразные функции для работы с множествами и списками.

Группы могут быть заданы в различной форме, например, как группы подстановок, матричные группы, группы, заданные порождающими элементами и определяющими соотношениями. Более того, построив, например, групповую алгебру, можно вычислить ее мультипликативную группу, и даже задать ее подгруппу, порожденную конкретными обратимыми элементами групповой алгебры. Ряд групп может быть задан непосредственным обращением к библиотечным функциям (например, симметрическая и знакопеременная группы, группа диэдра, циклическая группа и др.).

Функции для работы с группами включают определение порядка группы, вычисление классов сопряженных элементов, центра и коммутанта группы, верхнего и нижнего центрального рядов, ряда коммутантов, Силовских подгрупп, максимальных подгрупп, нормальных подгрупп, решеток подгрупп, групп автоморфизмов, и т.д. Для ряда конечных групп доступно определение их типа изоморфизма.

Теория представлений групп также входит в область применения системы GAP. Здесь имеются инструменты для вычисления таблиц характеров конкретных групп, действий над характерами и интерактивного построения таблиц характеров, определения теоретико-групповых свойств на основании свойств таблицы характеров группы. Модулярные представления групп (т.е. представления над полем, характеристика которого делит порядок группы) также могут быть исследованы с помощью GAP.

В версии 4.3 были существенным образом расширены возможности для работы с векторными пространствами, алгебрами и модулями. В системе могут быть определены векторные пространства над всеми доступными полями и модули над всеми доступными кольцами. Имеются алгоритмы для вычисления структуры конечномерных алгебр Ли, которые могут быть, например, заданы структурными константами или порождающими элементами, вычисления различных их Лиевских подалгебр и идеалов.

Версия 4.4, заменившая версию 4.3, содержит множество новых особенностей, усовершенствованных алгоритмов и средств программирования, и поэтому мы рекомендуем ее установку всем пользователям предыдущих версий. В частности, в GAP 4.4 появились новые алгоритмы и функции для работы с базисами Гребнера, алгебраическими расширениями полей, группами Галуа, таблицами характеров, векторными пространствами; новые методы для вычисления минимальных нормальных подгрупп конечной группы и цоколя конечной группы; быстрый метод для определения, является ли заданная группа подстановок симметрической или знакопеременной группой в их естественном представлении; разнообразные функции для вычислений с целочисленными матрицами, и др. нововведения.

Кроме новых алгоритмов и функций, в GAP 4.4 усовершенствована производительность многих уже существовавших ранее алгоритмов, в т.ч. для вычисления неприводимых представлений и их характеров, вычисления нормализаторов и сопряженных подгрупп в симметрических группах подстановок, вычисления системы представителей смежных классов в группах подстановок. Разложение подстановки в произведение порождающих элементов теперь вовзращает существенно более короткие слова (например, длины около 100 для группы кубика Рубика). Усовершенствования также коснулись списков, многочленов, матриц и матричных групп, расширений конечных групп, конечномерных алгебр.

Среди других областей применения системы - теория графов и их автоморфизмов, теория кодирования, теория полугрупп, кристаллография, и многое другое. Существует графический интерфейс XGAP который работает в среде Unix/Linux и позволяет, например, графически изобразить решетку подгрупп группы.

Заключение

Итак, мы проследили в общих чертах «путь», который прошла теория Галуа и рассмотрели некоторые из её применений в современной науке.

Теория групп, порожденная впервые задачами теории уравнений, превратилась в мощную и разветвленную область знаний. Она имеет три исторические корни: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики - появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.

Произошло это всё благодаря универсальности этого понятия.

Ведь из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, - все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами. Тогда мы получаем, что теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Особую полезность абстрактное понятие группы получает благодаря свойству гомоморфизм, т.е. такой связи между различными группами, при котором групповая операция сохраняется. Гомоморфизм группы различной природы имеют одинаковые свойства, и изучение одной группе можно заменить изучением другой. Например, группа поворотов трехмерного тела гомоморфную группе специальных ортогональных матриц 3×3, групповой операцией которой является умножение матриц. В большой мере именно благодаря гомоморфизмам теория групп нашла широкое применение в различных областях математики и физики, поскольку позволяет выделить общие черты в объектах очень разной природы.

В настоящий момент теория групп является важной частью более глобальной области науки - «общей алгебры». В теории групп в настоящий момент много перспективных направлений, которые активно развиваются учеными всего мира.

Теория групп все теснее проникает во все научные сферы, в том числе и самые передовые.