3.5 Пример применения теории Галуа

Пусть дано уравнение ; оно неприводимо над полем Q и имеет 4 различных корня

где . Поле разложения этого уравнения получается присоединением к Q двух величин Обозначим его N=Q(r,i), иначе можно записать N=Q(r+ir). Всякий элемент поля N есть линейная комбинация следующих восьми элементов:

Элементы группы данного уравнения определены, если известны образы i и r; i может отображаться только в i или -i. Точно также r может отобразиться лишь в элементы r,-r,ir,-ir.

Объединяя эти условия, получаем восемь элементов группы G (восемь автоморфизмов поля N). Покажем, как они определены своим действие на порождающие элементы i, r.

Можно доказать, что эти автоморфизмы сохраняют соотношение i2=-1, r4=3.

Группа G содержит подгруппу H={I,S,S2,S3}, порожденную S, которая содержит меньшую подгруппу L={I,S2}, порожденную S2.

Каждый автоморфизм группы H оставляет i на место, следовательно он оставляет на месте каждый элемент подполя Q(i).

Меньшая группа L имеет автоморфизмы, которые оставляют на месте элементы большего поля Q(i,r2).

Таким образом, убывающей цепочке подгрупп соответствует возрастающая цепочка подполей

Возрастающая цепочка подполей данного уравнения дает метод решения посредством последовательного присоединения корней более простых уравнений x2=-1; y2=3; z2=31/2.

3.6 Последующее развитие оригинальной теории Галуа

Развитие идей Галуа происходило в разных направлениях. В области классической основы, наиболее близкой собственным идеям Галуа, новые задачи группировались вокруг проблемы классификации алгебраических иррациональностей и установления их арифметической природы. Сюда, например, относится теорема Кронекера - Вебера, что корни абелевых уравнений (т. е. уравнений с коммутативной группой) с рациональными коэффициентами рационально выражаются через корни из единицы. Дальнейшие обобщения этой теоремы привели к общей теории полей классов, где речь идет о классификации всех абелевых расширений данного поля алгебраических чисел. Последнее является конечным алгебраическим расширением поля рациональных чисел-. Современная теория алгебраических чисел сложилась как соединение теории этих чисел с теорией идеалов и теорией Галуа.

Постановка новых, более общих задач способствовала быстрому усложнению теории Галуа и росту общности ее результатов. Среди этих задач упомянем, например, проблему разыскания всех уравнений, которые для заданной области рациональности обладают определенной, наперед заданной группой. Проблемы такого рода привели к изучению полей общих рациональных функций (проблема Люрот-Штейница). Обобщения задачи о разрешимости уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие результаты здесь были получены лишь советским математиком Н. Г. Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик - И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную задачу теории Галуа: для любой разрешимой группы любого порядка, если расширяемое поле К_0 алгебраических чисел содержит корень n-й степени из единицы, всегда существует сколько угодно его расширений К_0, имеющих над K любую наперед заданную разрешимую группу n-го порядка.

Современная теория Галуа превратилась в сложную разветвленную математическую дисциплину, включающую в себя обширный материал о связях между свойствами уравнений, алгебраических чисел и групп.

3.7 Другие предпосылки возникновения теории групп

3.7.1 Достижения Ферма и Эйлера

У Эйлера (и, может быть, у Ферма до него) встречается операция «умножения по модулю р», которая (1758) использовалась, чтобы дать, по существу, теоретико-групповое доказательство малой теоремы Ферма.

Напомним, что целые числа называются конгруэнтными по модулю р, если они отличаются по целому кратному р, что b - обратная величина а относительно умножения mod p, если ab конгруэнтно 1 по модулю р, то есть, если ab + кр = 1 для некоторого целого к. В случае простого p каждый ненулевой элемент имеет обратный по модулю p. Т.е. здесь появляется группа.

Эйлер в своем доказательстве не определил группу, но нам легко это сделать. Элементы группы - ненулевые классы вычетов mod p:

mod p={...,-p+l,l,p+l,2p+l,...},

2 mod p= {...,-p+2,2,p+2,2p + 2,...},

mod p= {...,-p+3,3,p+3,2p + 3,...},

(р - 1) mod р ={..., -1,р - 1, 2р - 1, Зр - 1,...},

с произведением, определенным (a modp) (b mod p) = (а • 6) mod р, где а • b - обычное арифметическое произведение. Групповые свойства 1) и 2) следуют из обычной арифметики; 3) следует из евклидова алгоритма (если p - простое).

Итак, мы видим, что Эйлер уже неявно оперировал с группами.

Кроме того, в процессе доказательства Эйлер впервые применил методы исследования уравнений, которые позднее были развиты Лагранжем и стали основными в его работах, посвященных вопросу решения уравнений в радикалах, а затем вошли в качестве неотъемлемой составной части в теорию Галуа.