3.7.2 Гаусс и глубокое единство математики

Одним источником теории групп была теория композиции классов квадратичных форм Гаусса из работы «Арифметические исследования». В ней операция, аналогичная сложению (или умножению) чисел, была перенесена на объекты, весьма от чисел далекие. На примере классов форм одного дискриминанта Гаусс фактически исследовал основные свойства циклических и общих абелевых групп.

Построение Гауссом теории классов бинарных квадратичных форм (заданного дискриминанта) - наиболее абстрактные примеры групп, построенные в то время. Вводя далеко не тривиальную операцию - композицию форм, Гаусс доказывает, что исходя из композиции форм можно определить композицию классов, указывает, что при композиции главного класса с любым классом К получается снова класс К, показывает, что у каждого класса существует противоположный, короче говоря, проверяет все элементарные свойства групповой операции. Ассоциативность и коммутативность композиции классов он не проверяет, но они сразу следуют из указанной им ранее ассоциативности и коммутативности композиции самих форм.

Вообще, во всех других трудах Гаусса, развиты очень мощные алгебраические методы. В этих работах обнажились многие абстрактные понятия, образующие костяк новой алгебры: отношение и класс эквивалентности, фактормножество, сравнения, кольцо и поле классов вычетов, поле расширения, абелевы группы и т. д.

В частности теорию абелевых групп Гаусс изучал не только на примере квадратичных форм. Теория конечных абелевых групп встречается в вышеупомянутых «Арифметических исследованиях» еще в трех разных контекстах: при изучении аддитивной группы целых по модулю n; при рассмотрении мультипликативной группы вычетов по модулю n; при исследовании мультипликативной группы корней n-й степени из единицы

Гаусс глубоко ощущал внутреннее единство математики, он прекрасно осветил иногда очень неожиданные восемь доказательств квадратичного закона взаимности, четыре доказательства основной теоремы алгебры, относящихся к разным ветвям математики, показал связь между комплексными числами и геометрией, между вращениями сферы и томографическими преобразованиями плоскости комплексного переменного и т. д.

Точка зрения Гаусса на многие вопросы была очень современна. Он говорил: «Математик совершает полную абстракцию от природы объектов и смысла их отношений: ему надо только перечислить эти отношения и сравнить их между собой».

Но, как ни богаты труды Гаусса новыми структурами, они находятся там в скрытом виде, как бы замаскированными.

Как говорится в книге [Колмогорова], глубокая прозорливость Гаусса не опиралась, как в XX в., на явные определения общих структур; напротив, она послужила импульсом для их выявления.

3.7.3 Гаусс и теория алгебраических чисел

В 1828 и 1832 гг. появились две части замечательной работы Гаусса «Теория биквадратичных вычетов». В этой работе не только дается геометрическая интерпретация комплексных чисел (что делалось и до него), но и, что очень важно, на комплексные числа было перенесено понятие целого числа, которое уже более 2000 лет казалось неотъемлемым свойством целых рациональных чисел. Гаусс построил арифметику целых комплексных чисел, полностью аналогичную обычной, сформулировал с помощью новых чисел биквадратичный закон взаимности.

Этим перед арифметикой были открыты новые необъятные горизонты. Вскоре Эйзенштейн и Якоби сформулировали и доказали кубический закон взаимности.

Эта работа Гаусса, содержащая глубокий результат теории алгебраических чисел, интересна и с точки зрения теории групп: в ней построен первый нетривиальный пример бесконечной абелевой группы и изучена ее структура.