3.1 Появление понятия перестановок. Достижения Лагранжа и Вандермонда

Понятие перестановок появилось еще в XIV веке. В 1321 году Леви бен Гершон на шел, что существует перестановок предметов. Эти перестановки - обратимые функции, которые образуют группу Sn в процессе композиции. Однако поведение перестановок в процессе композиции не рассматривалось до восемнадцатого века.

В XVIII веке работы Лагранжа и Вандермонда по теории алгебраических уравнений ввели в математику первый групповой объект - подстановки. Вандермонд и Лагранж применили идею перестановки к корням полиномиальных уравнений. Тем самым и были открыты первые поистине теоретико-групповые свойства перестановок.

Особенно значителен опубликованный в 1771-1773 гг. мемуар Лагранжа «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (Refle xions sur la resolution algebrique des equations). Кроме очень важных исследований в теории уравнений в нем доказана первая теоретико-групповая теорема:

Число значений, которые принимает функция от переменных при всех перестановках этих переменных, делит .

Это частный случай теоремы о том, что порядок подгруппы делит порядок группы.

Среди последователей Лагранжа и Вандермонда следует отметить Паоло Руффини. В своих исследованиях 1808-1813 гг. по теории уравнений он рассматривает не только группу подстановок, но и ее подгруппы и вводит понятия транзитивности и примитивности.

Поговорим теперь более подробно об идеях Лагранжа и Вандермонда: (основываясь на материале из книги [3]):

Вандермонд и Лагранж открыли ключ к пониманию решения уравнений в радикалах. Они начали с наблюдения, что если уравнение:

имеет корни ,

то

Перемножая всё в правой части и сравнивая коэффициенты, находим, что некоторые функции от . Например:

и

Эти функции симметричны, то есть, неизменяемы какой-либо перестановкой , поскольку правая часть не изменяется такими перестановками. Следовательно, любая рациональная функция симметрична как функция . Сейчас объект решения в радикалах - применение рациональных операций и радикалов к , с тем чтобы получить корни, то есть, полностью асимметричные функции .

Радикалы, поэтому, должны некоторым образом уменьшать симметрию, и молено видеть, что они делают в квадратичном случае. Корни

равны

И мы замечаем, что симметричные функции и дают две две асимметричные функции , когда вводится двузначный радикал .

Вообще, введение радикалов умножает число значений функции на и делит симметрию на в том смысле, что группа перестановок, оставляющая функцию неизменной, уменьшается до своей предыдущей величины.

Вандермонд и Лагранж нашли, что они могут объяснить предшествующие решения кубических и квадратных уравнений на основе уменьшения такой симметрии в соответствующих группах подстановок и . Они также нашли некоторые свойства подгрупп. Однако, они не смогли добиться достаточного понимания зависимости между радикалами и подгруппами , чтобы решить уравнения степени .

3.2 Решение уравнения деления круга

Карл-Фридрих Гаусс сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем молодым человеком во время обучения в Геттингенском университете (1795 -1798 годы). В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней уравнения он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности на равные части, доказав, что правильный 17-угольник можно вписать в круг с помощью циркуля и линейки. Соответствующий алгебраический факт, что уравнение разрешимо в квадратных радикалах, Гаусс обобщил вскоре, найдя критерий возможности такой разрешимости (уравнение разрешимо для простого вида ) и дав его геометрическую интерпретацию.

При доказательстве этой группы предложений Гаусс развил методы, послужившие одной из исходных точек при создании теории Галуа, по собственному признанию ее автора.

Гаусс явно высказал, что цель его исследований полинома

состоит в том, чтобы последовательно разлагать полином на множители вплоть до линейных, обнажая при этом структуру уравнения.

Гаусс установил, что уравнение степени , где простое, неприводимо в поле рациональных чисел и нормально над ним, т. е. все его корни рационально выражаются через один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид: , т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения циклическая. Остается лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг впоследствии сделал Галуа, учитывавший также указание Лагранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.

В книге [Колмогорова] по поводу метода, примененного Гауссом, говорится следующее: «Значение достижения Гаусса в теории уравнений очень велико. Неявно здесь уже играют свои роли понятия поля, группы, базиса поля над полем и, пожалуй, даже группы Галуа. Более того, вероятно, эти понятия и их значения в теории уравнений были бы гораздо трудней обнаружены, если бы у всех перед глазами не было бы столь глубоко и красиво разобранного Гауссом примера».

(Подробно метод Гаусса для решения уравнения деления круга изложен в книге [Колмогоров,с.53] ).