2. Истоки теории групп

Многие ученые склонны верить сейчас, что в действительности понятие группы является древнейшим математическим понятием, более древним, чем понятие числа, и неотделимым от самой человеческой цивилизации. Группы появляются всюду, где возникают симметрии, автоморфизмы, обратимые преобразования. Иными словами, всюду, где есть повторяющиеся и самовоспроизводящиеся узоры. А человеческая культура, подобно природе и жизни, состоит в составлении узоров. Именно на этом основана вездесущность идеи группы, универсальность этого понятия и огромное разнообразие его приложений.

Несмотря на это, термин «группа» получил повсеместное распространение не так давно. Официально теория групп возникла в начале XIX века. У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, - это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры - теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Решение проблем теории алгебраических уравнений явилось наиболее мощным толчком к появлению групп. Поэтому остановимся на этом вопросе наиболее подробно.

3. Основные проблемы алгебры в XVIII, XIX веках

Чем была алгебра к концу XVIII века , трудно определенно сказать. Конечно, это было уже не просто искусство вычислять с числами, буквами и загадочными величинами, содержащее несколько правил, несколько формул и умение как-то правильно их толковать. Нет, комплексные числа были уже всеми почти признаны, существовала уже некоторая теория линейных уравнений, уже намечались некоторые принципы, начала теории уравнений произвольной степени от одного неизвестного, но рядом с величественным зданием анализа это было очень и очень мало. Алгебра находилась где-то на окраинах математики.

К концу XVIII в. одной из главных задач алгебры стала задача решения алгебраических уравнений в радикалах. Алгебру называли наукой о решении уравнений. Более точно ставилась задача: Найти способы выражать корни уравнений через коэффициенты уравнения с помощью четырех арифметических операций и операций извлечения арифметического корня произвольной степени. Уравнение имеет следующий вид:

где .

К тому моменту умели решать в радикалах квадратные уравнения, кубические (метод Кардана, Тартальи) и уравнения четвертой степени (метод Феррари).

В поисках общей формулы математики перепробовали громадное количество методов. Естественно, наибольшим успехом было бы найти способы решения уравнений произвольной степени с произвольными коэффициентами, однако многочисленные поиски такого способа были безрезультатны. Постепенно начала нарастать уверенность, что в общем случае поставленная задача решения не имеет, т.е. нельзя разрешить в радикалах произвольное уравнение.

Как отмечается в книге [Колмогорова] до 1770 года не было даже известно, как решать в радикалах уравнение вида: при . Выход в 1770 г. работы Вандермонда, где он разбирает случай , был уже существенным сдвигом. (Здесь хотелось бы отметить, что позднее это задача полностью решена Гауссом. Об этом будет подробнее далее).

Успех в выше обозначенном вопросе был достигнут только в XIX веке.

Не добившись ничего «наивной игрой» с коэффициентами многочлена в поле рациональных чисел, математики к концу XVIII века были вынуждены прибегнуть к фактическому рассмотрению полей и групп, еще не вводя этих понятий явно (Лагранж и Вандермонд в частности). Затем, уже в веке, благодаря результатам К.-Ф. Гаусса, Н.-Г. Абеля и Э. Галуа вопрос о разрешимости в радикалах был решен. Было показано, что в общем случае разрешимости в радикалах не может быть.

Решение этой задачи привело к введению в науку ряда новых понятий (в первую очередь, понятия группы). Эти понятия преобразили алгебру. Правда, вначале изменения в алгебре происходили на скрытом уровне. Этот период длился до 70-х годов XIX столетия. И как отмечается в книге [5], он наиболее труден для историка науки.

«До 70-х годов XIX в. происходил в основном скрытый период этого бурного роста алгебры. Здесь перед историком науки встает задача восстановления по черновым наброскам, работам, письмам, воспоминаниям таинственного процесса рождения, роста и взаимодействия математических идей. Эта задача трудна еще и тем, что в истории каждой крупной математической мысли имеется период неявного существования, когда она неузнаваемо.

Для современников начинает проглядывать то там, то тут в маскарадной одежде частных случаев и приложений; а потом вдруг выступает сразу во всей своей полной красе, и не сразу можно, а иногда и совсем нельзя, определить, кто помог ей сделать этот знаменательный шаг выхода на сцену.»

В итоге, преобразование алгебры оказалось настолько фундаментальным, что по сравнению с началом века, к концу его, а еще яснее к -20-м годам XX столетия, сам предмет этой науки, ее основные понятия и методы, ее место в математике неузнаваемо изменились.