5.6 Группы и геометрия

Правильные многогранники показывают, что геометрическая симметрия - фундаментально теоретико-групповое понятие. В более общем смысле, многие понятия «эквивалентности» в геометрии можно объяснить как свойства, которые сохраняются определенными группами преобразований. Однако, необходим был некоторый пересмотр классических понятий, прежде чем геометрия могла извлечь пользу из теоретико-групповых идей.

Старейшее понятие геометрической эквивалентности - это понятие конгруэнтности. Греки понимали, что фигуры F1 и F2 конгруэнтны, если имелось движение твердого тела F1, которое выносило его в F2. Недостаток этой идеи заключался в том, что движение имело значение только для отдельной фигуры. «Произведение» движений различных фигур не имело значения, и, следовательно, групп движений не имелось.

Шаг, который проложил путь к введению теории групп в геометрию, заключался в распространении Мёбиусом (1827) идеи движения на всю плоскость; он придал смысл произведению движений. Фактически, Мёбиус рассмотрел все непрерывные преобразования плоскости, которые сохраняют прямоту линий и уделил отдельное внимание нескольким подклассам этих преобразований: тем, которые сохраняют длину (конгруэнтностям), виду (подобиям) и параллелизму (аффинностям). Он показал, что самые общие непрерывные преобразования, которые сохраняют прямоту, - как раз проективные преобразования. Таким образом, одним ударом Мёбиус определил понятия конгруэнтности, подобия, аффинности и проективной эквивалентности как свойства, которые инвариантны под действием определенных классов преобразований плоскости. То, что рассматриваемыми классами были группы, стало очевидно, как только признали понятие группы. Именно признак медлительности, с которой было признано понятие группы, обусловило переформулировку идей Мёбиуса в понятиях групп только у Клейна (1872).

Формулировка Клейна получила известность как Эрлангенская программа, потому что он объявил о ней в Эрлангенском университете. Его идея заключалась в том, чтобы связать каждую геометрию с группой непрерывных преобразований, которые сохраняют ее характеристические свойства. Например, евклидова геометрия плоскости ассоциируется с группой преобразований плоскости, которые сохраняют евклидово расстояние между точками. Проективная геометрия плоскости ассоциируется с группой проективных преобразований. Гиперболическая геометрия плоскости, принимая во внимание проективную модель, может ассоциироваться с группой проективных преобразований, которые отображают единичный круг на себя. Концепция Клейна представляет собой по существу учение об инвариантах.

Важное влияние на Эрлангенскую программу, несомненно, оказал Кэли. Один из примеров группы, приведенных Кэли, позволил Клейну осознать связь геометрий и групп очень четко.

Когда геометрия была заново сформулирована таким образом, определенные геометрические вопросы стали вопросами о группах. Правильная мозаика, например, соответствует подгруппе полной группы движений, состоящей из тех движений, которые отображают мозаику на себя. В случае гиперболической геометрии, где задача классификации мозаик представляет большую сложность, взаимосвязь между геометрией и теоретико-групповыми идеями оказалась очень плодотворной. В работе Пуанкаре (1882,1883) и Клейна (1882) теория групп явилась катализатором нового синтеза геометрических, топологических и комбинаторных идей.

Отметим здесь факт, касающийся развития непрерывных групп. Ранее мы рассмотрели группы Ли и их приложения, а сейчас увидели что непрерывные группы получили многочисленные приложения в области геометрии. Открытие столь многообразных приложений теории непрерывных групп было причиной введения более общего, абстрактного определения непрерывной группы. В него входит требование задания предельного перехода, согласованного с группой операций. Вскоре удалось показать (это сделал Ван Данциг), что это определение более общее, нежели определение Ли, и что существуют непрерывные группы, не являющиеся группами Ли. (Мы вскользь упоминали этот факт в разделе, посвященном возникновению групп Ли)Так как при этом определении отвлекаются от того, что элементы группы являются преобразованиями, то приходят по существу к топологической группе и к топологическому пространству. В связи с этим создалась настоятельная необходимость объединить отдельные топологические факты в единую теорию.

Это было проделано А. Пуанкаре в его знаменитом мемуаре «Analysis situs» (1895) и в пяти прибавлениях к нему (1899 - 1911).