5.4 Алгебраические конструкции в теории автоматов

Теория автоматов оперирует с широким кругом алгебраических объектов и средств. В годы становления теории автоматов алгебраические средства активно использовались для решения её внутренней проблематики. Интересно, что со временем оказалось, методы теории автоматов можно использовать при алгебраических исследованиях.

Первой систематической работой, в которой раскрылась в полной мере связь между двумя этими областями, была работа Глушкова.

Особое место в теории автоматов занимают алгебраические конструкции, связанные с конечными полугруппами. Рассмотрим этот вопрос более подробно на простейшем примере.

Пусть есть автомат

Где и , входной и выходной алфавиты соответственно, - множество состояний, функция - функция выходов. С этим конечным автоматом можно связать полугруппу подстановок на множестве . Каждая буква входного алфавита действует на Q как подстановка , причем . Последовательное действие букв и соответствует произведению подстановок Для выполняется

Таким образом, множество порождает конечную полугруппу , называемую внутренней полугруппой автомата Очевидно является гомоморфным образом свободной полугруппы А* (А* - множество всех слов в алфавите ).

Итак, мы увидели, что полугруппы возникают фактически сразу же при определении понятия «автомат».

Методы теории полугрупп в этой области можно, вообще говоря , много где применить. Например, методы теории конечных полугрупп можно использовать для решения важной задачи декомпозиции автоматов, т.е. представления автомата в виде соединения «простых» автоматов. Оказалось, что эти методы хорошо работают в том случае, когда автомат можно разложить в суперпозицию автоматов. Среди работ в этом направлении одно из центральных мест занимает работа 60-х годов Крона и Роудза. В этой работе показано, как внутренняя полугруппа автомата суперпозиции связана с внутренними полугруппами автоматов - компонентов соединения.

Как мы увидели, с каждым автоматом можно связать полугруппу. Справедливо и обратное следствие. Каждой абстрактной полугруппе можно поставить в соответствие автомат. Правда это будет не один автомат, а бесконечное множество автоматов.

Еще отметим, что теория полугрупп применяется для решения центральной задачи теории автоматов - задачи о выразимости.

Также стоит сказать, что не только конечные полугруппы применяются при решении задач из теории автоматов. Здесь нашли своё применение и бесконечные группы.

Итак, теория автоматов активно использует классические объекты из алгебры, а также вводит в рассмотрение новые алгебраические системы и предоставляет новые «неклассические» конструкции.

5.5 Проблема интегрирования дифференциальных уравнений

Ранее мы говорили о группах Ли и непрерывных группах и проследили кратко путь их развития. Посмотрим теперь на наиболее простые и первые применения этих групп.

Напомним для начала, что группы Ли появились в конце XIX века. Около 1873 г. Норвежский математик Софус Ли ввел новый вид групп, названный им «непрерывные группы преобразований». С каждым дифференциальным уравнением он связал такую группу преобразований, которая оставляет его неизменным.

Софус Ли распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений.

Группы Ли состояли из преобразований вида: x  f(x,a1,…,an), определяемых параметрами. Например, для вращения плоскости параметрами являются углы поворота, для пространства- так называемые эйлеровы углы. Перемножение двух преобразований, являющихся элементами группы, дает преобразование. Параметры последнего связаны с параметрами сомножителей непрерывными функциями Fi=Fi(a1,..,an; b1,..,bn).

Группы, определенные таким образом, получили название групп Ли. Структура групп Ли оказалась связанной с вопросом об интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах. Соответствующие структурные свойства групп Ли получили, по аналогии с теорией Галуа, интерпретацию свойств разрешимости. С. Ли классифицировал всевозможные группы преобразований на плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциальных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах. Вопрос, вытекает ли из непрерывности функций Fi существование таких параметров в группе, для которых функции Fi аналитичны, был включен Д. Гильбертом в число его знаменитых проблем и в настоящее время решен положительно.