5.1 Алгебраическая топология и группы

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств. Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп - фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики фундаментальной группой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.

Рассмотрим пример применения групп к топологии:

Допустим, что каждому топологическому пространству X сопоставлена группа F(X). Пусть кроме того каждому непрерывному отображению f:X  Y отображения одного пространства в другое сопоставлен гомоморфизм f*: F(X)  F(Y) соответствующих групп. Такое сопоставление пространствам - групп, отображениям - гомоморфизмов называется ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию групп, если выполняются следующие два условия: 1) Если f тождество, то f* также тождество. 2) Если суперпозиция fg определена, то (fg)* и f*g* изоморфны.

Справедлива следующая теорема: Если пространства X и Y гомеоморфные, то F(X) и F(Y) изоморфны.

На это теореме основан способ применения групп (функторов) в топологии. Допустим нам надо выяснить различны ли пространства X и Y. Возьмем какой-нибудь функтор F и сравним группы F(X) и F(Y). Если F(X) и F(Y) различны, то пространства X и Y тоже различны. Если F(X) и F(Y) изоморфны, то про пространства X и Y ничего сказать нельзя.

Таким образом, знание некоторого функтора из категории топологических пространств в категорию групп позволяет в некоторых случаях доказать различность пространств.

5.2 Теория многомерных пространств, теории алгебраических интегралов линейных дифференциальных уравнений и группы

Группы нашли своё применение в теории многомерных пространств. В частности, дискретные конечные группы (к которым принадлежат, например, Федоровские группы) получили распространение в теории многомерных пространств в связи с теорией правильных многогранников в них. В основе этих рассмотрений лежит теорема Жордана: число конечных линейных групп заданного измерения существенно конечно.

Та же теорема получила приложение на рубеже XIX-XX вв. в теории алгебраических интегралов линейных дифференциальных уравнений, римановых поверхностей и др. Например, Жордан указал на связь между линейными дифференциальными уравнениями, имеющими алгебраические интегралы, и конечными группами. Оказалось, что необходимым и достаточным условием существования алгебраических интегралов у линейного дифференциального уравнения фуксова типа является условие конечности группы линейных преобразований, претерпеваемых его интегралами при обходе независимой переменной вокруг каждой из критических точек.

5.3 Теория групп и автоморфные функции

Имеется связь между теорией групп и автоморфными функциями.

Классическая теория автоморфных функций, возникшая в трудах Клейна и Пуанкаре, была связана с изучением аналитических функций в единичном круге, инвариантных относительно дискретной группы преобразований. Поскольку сам единичный круг можно рассматривать, как плоскость Лобачевского в интерпретации Пуанкаре, то можно сказать, что классическая теория автоморфных функций связана с изучением аналитических функций на плоскости Лобачевского, инвариантных относительно некоторой дискретной группы движений этой плоскости.

Существенную роль после Клейна и Пуанкаре в развитии теории автоморфных функций сыграли Гекке, Зигель, Зельберг, Годман, Петерсон. В работах этих ученых прослеживается связь между некоторыми аспектами теории автоморфных функций и теорией групп.

Процесс развития теории автоморфных функций все более показывал важность теоретико - группового подхода. И теперь многие понятия теории автоморфных функций достаточно просто связать с некоторой произвольной группой Ли или её дискретной подгруппой.

Особенно отчетливо связь между теорией групп и автоморфными функциями проявилась в 50х, 60х годах XX века. Точнее речь идет о связи с теорией представлений групп. Стоит отметить, что все это произошло под влиянием стремительного развития теории бесконечномерных представлений групп. Построение же бесконечномерных представлений групп Ли полностью выявило все зависимости.

Одной из первых работ в этом направлении была работа Гельфанда и Фомина, в которой понятия теории представлений связывались с теорией динамических систем и теорией автоморфных функций.

Кроме бесконечномерных представлений групп Ли большую роль в формировании современной теории автоморфных функций сыграло создание алгебраических группы в работах Шевалле, Бореля, Титца.

Одним из наиболее замечательных понятий, появившихся и применившихся в теории автоморфных функций в середине XX века, явилась группа аделей. С группой аделей, к примеру, связано замечательное однородное пространство (пространство классов смежности по подгруппе главных аделей), которое очень удобно для рассмотрения функций над ним и изучения их свойств.

Обобщая выше сказанное, хотелось бы сказать, что теория представлений групп позволила по-новому понять классические результаты теории автоморфных функций, шире поставить задачи этой теории и получить ряд новых важных результатов.