4.8 «Коуровская тетрадь»

В математике и в частности в теории групп всегда существовали и существуют открытые вопросы. Наиболее важные из них можно найти в так называемой «Коуровской тетради». «Коуровская тетрадь» представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешенных задач в области теории групп. Она издается с 1965 года с периодичностью в 2-4 года и выпускается на русском и английском языках.

Идея издания сборника нерешенных проблем теории групп была высказанаМихаилом Ивановичем Каргаполовым (1928-1976) на Дне проблем Первого Всесоюзного симпозиума по теории групп в Коуровке под Свердловском 16 февраля 1965 г. Поэтому этот сборник и получил название «Коуровская тетрадь». С техпор каждые 2-4 года появляется очередное издание, дополненное новыми вопросами и краткими комментариями к решенным задачам из предыдущих изданий.

«Коуровская тетрадь» уже более 40 лет служит своеобразным средством общения для специалистов по теории групп и смежным областям математики. Возможно, самым ярким примером успеха «Коуровской тетради» является тот факт,что около 3/4 всех задач из ее первого издания к настоящему времени уже решены. Приобретя международное признание, «Коуровская тетрадь» насчитывает свыше 300 авторов задач из многих стран мира.

Заключение

Итак, мы увидели, что теория групп прошла длинный путь прежде, чем выйти на современный уровень. Изобретение Эвариста Галуа было всего лишь первым шагом навстречу коренной перестройке алгебры и вообще математики. Потребовалось время, для того чтобы осознать оригинальные идеи Галуа, а затем вывести их на должный уровень абстракции. Не сразу математики осознали ,что при изучении математических объектов на самом деле изучаются свойства заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся.

Также потребовалось немало времени, чтобы перейти от рассмотрения конечных групп к бесконечным группам.

Результаты усилий нескольких поколений математиков принесли свои плоды. Теория групп раскрылась в полной своей мере и изменила своим появлением алгебру. Она существенно повлияла на другие сферы математики благодаря, а также дала начало некоторым новым областям.

5. Влияние теории групп на другие области математики и научные сферы

Преобразование алгебры повлекло за собой преобразование всей математики. Исследование фундаментальных структур, их подструктур (например, в теории групп - конечных групп, коммутативных групп и т. д.), изучение их основных комбинаций (таких, как структуры алгебраической топологии, в которых алгебраические комбинации обладают дополнительными свойствами непрерывности, дифференцируемости и т. д») нарушили архитектуру математики, древняя схема которой (алгебра, арифметика, геометрия, анализ) устарела. Взаимопроникновение математических дисциплин стало в наши дни глубоким и всеобщим.

В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических уравнений. К концу же XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла высокого уровня. Появился ряд трактатов, содержащих ее систематическую разработку. В это же время появились первые приложения теории групп.

Сейчас группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

Например в оригинальной теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств . Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп - фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Рассмотрим теперь более подробно, как применяются группы в различных областях науки.