4.6 Комбинаторная теория групп

В этом разделе будет рассказано о разделе теории групп, который развивался параллельно обычной теории групп.

В начале XX века было в некотором смысле разделение направлений исследований и развивалось два направления теории групп, ведущих свое начало от несколько разных определений самого понятия группы. Одно из этих определений - «обычное», построенное на аксиомах. Мы рассматривали его ранее. Во втором же случае, группа определяется порождающими элементами и соотношениями между ними. (С таким мы встречались у Артура Кэли. См. пример выше)

Таким образом, комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как теорию групп, которые описываются порождающими и определяющими соотношениями или, как теперь часто говорят, своим заданием (presentation). Конечно, это не полное определение данной области математики, но все же основную идею оно отражает.

Описание группы посредством ее задания, т. е. системы порождающих и определяющих соотношений, является на самом деле специфическим способом абстрактного описания группы.

Истоки комбинаторной теории групп, изучающей задание группы образующими и определяющими соотношениями, можно найти в работах: Ф. Клейна; А. Пуанкаре (H. Poincare) (предложившего в 1895 понятие фундаментальной группы); В. фон Дика (W. von Dyck) (доказавшего в 1882 существование свободной группы); Х. Титце (H. Tietze) (в 1908 рассмотрел вопрос об изоморфизме групп при различных заданиях); М. Дэна (M. Dehn) (рассмотревшего в 1910 проблемы равенства, сопряженности и изоморфизма). Р. Ремак (R. Remak, 1911) и О.Ю. Шмидт (1913), обобщив теорему об однозначности разложения группы в прямое произведение неразложимых сомножителей с конечных абелевых групп на класс всех конечных групп, заложили основы теории прямых разложений групп. Нильсен (J. Nielsen, 1921) и Шрайер (O. Schreier, 1927) доказали, что подгруппа свободной группы свободна. Ван Кампен (E.R. van Kampen, 1933) предложил геометрическую интерпретацию вывода следствий из определяющих соотношений групп. Теорема А.Г.Куроша (1934) дает описание строения подгрупп свободного произведения групп. И.А. Грушко (1940) и Б. Нейман (B.H.Neumann, 1943) развили метод Нильсена для свободных произведений и описали системы порождающих для таких групп.

Начало этой теории обычно связывается с работой В. Дика 1882 г., в которой впервые были введены понятия порождающих и определяющих соотношений.

Рассмотрим простой пример группы, заданной порождающими соотношениями: см [3]

Будем рассматривать правильные многогранники и их группы симметрий. Известно, что эти группы симметрий обычно являются изоморфными некоторым подгруппам группы подстановок. Т.е. можно дать аксиоматическое определение такой группы. Но можно дать определение на основе порождающих соотношений.

Например, Гамильтон (1856) показал, что группа икосаэдра может порождаться тремя элементами: в зависимости от отношений

Это означает, что каждый элемент группы икосаэдра является произведением и любое соотношение между следует указанных соотношений.

Дик в выше упоминавшейся работе 1882 дал похожие представления групп куба и тетраэдра.

Таким образом, мы увидели, что группы правильных многогранников были первыми, которые определили на основе порождающих элементов и соотношений. Однако, с конечными группами, такими как эти, занимаешься, главным образом, простотой и элегантностью представления; вопрос о существовании не возникает. Что касается любой конечной группы G, можно тривиально получить конечное множество порождающих элементов (а именно, всех элементов g1,..,gn группы G). и определяющих соотношений (а именно, всех уравнений gi*gj= gk, выполняющихся среди порождающих элементов). И конечно, тот же аргумент дает бесконечное множество порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечной группы, но это также неинтересно. Реальная проблема заключается в том, чтобы найти конечные множества порождающих элементов и определяющих соотношений для бесконечных групп, где возможно.

Впервые эта задача была решена для групп симметрии некоторых правильных мозаик студентом Клейна, Диком, и такие примеры были основой первого систематического изучения порождающих элементов и соотношений.

Обобщая идеи Дика, Пуанкаре (1882) показал, что группы симметрии всех правильных мозаик, будь то сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости, молено представить конечным числом порождающих элементов и соотношений. Эти результаты также были важны для топологии.

Впоследствии более простой подход к комбинаторному определению группы можно встретить у Дена и Магнуса (1930). Группа G у них определяется множеством {a1,..,an,…} порождающих элементов и множеством {W1=W1’; W2=W2’ ;…} определяющих соотношений. Каждый порождающий элемент ai называется буквой; ai имеет обратный элемент ai-1 и произвольные конечные последовательности («произведения») букв и обратных букв называются словами.

Слова W’, W называются эквивалентными, если W = W’ - след- ствие определяющих соотношений, то есть, если W можно обратить в W’ последовательностью замен подслов Wi на Wi’ (или наоборот) и сокращением (или вставкой) подслов ai* ai-1, ai-1* ai. Элементы G - классы эквивалентности: [W] = {W’ :W’ эквивалентно W},

Произведение элементов [U], [V] определяется :

[U][V] = [UV]

где UV обозначает результат соединения в цепь слов U, V.