4.5 Непрерывные, бесконечные группы, группы Ли

В работах Жордана еще не появилось общее понятие группы в том виде, в котором оно существует сейчас. Рассматривая группы, он полагал их конечными. О группах преобразований и непрерывных группах речи еще не было. Хотя идея преобразования, примененного ко всему пространству, а не только к отдельным пространственным фигурам, была уже знакома геометрам благодаря развитию проективной геометрии в работах Понселе. Но связь между этой идеей и идеей «перестановки» конечного множества еще не усматривалась.

В 1870 г. Софус Ли (1842-1899) и Феликс Клейн вместе были в Париже и, ознакомившись там с работами Жордана и Галуа, начали размышлять над группами преобразований. Впервые в рамках одной концепции были поставлены рядом понятия конечного множества и некоего «пространства», наподобие пространства евклидовой геометрии. Итогом этих размышлений стала предложенная в 1872 г. «Эрлангенская программа» Клейна, в которой центральное место при изучении геометрий отводится понятию группы. Был дан толчок к изучению бесконечных групп, одним из главных творцов этой теории стал Софус Ли.

Фактически в работах Ф.Клейна с С.Ли (S.Lie) было начато исследование бесконечных дискретных и топологических групп. Трехтомный трактат С.Ли и Ф.Энгеля (F.Engel), 1883-1893, зафиксировал рождение новой области в теории групп - теории групп Ли.

Зачем же Софусу Ли вообще понадобилось рассматривать группы преобразований?

Как мы помним, первоначально конечные группы были введены Галуа в связи с вопросом о симметрии алгебраического уравнения относительно подстановок его корней. Софус Ли имел своей целью построение аналогичной теории для дифференциальных уравнений с непрерывными группами преобразований. В результате возникла специальная теория определенного класса непрерывных групп, называемых теперь группами Ли.

Дальнейшие исследования Вейля и Картана, посвященные классификации геометрических объектов относительно некоторых групп преобразований, завершили классический этап развития теории групп Ли.

В последующих исследованиях, уделялось особое внимание топологии группового пространства (Понтрягин, Брауэр, Вейль, Шевалле, Мальцев), что позволило дать законченную классификацию групп Ли и их конечномерных представлений.

С начала 50-х годов XX века в работах Гельфанда и Наймарка происходит интенсивное развитие теории бесконечномерных представлений групп Ли и некоторых других локально компактных групп. Эти вопросы в свою очередь связаны с современными вопросами симметрии квантовой теории поля.

Теория групп Ли в современном понимании в значительной степени связана с вопросом линейных представлений. Понятия представления или «обобщенной экспоненты» позволяет проследить глубокую связь, кажущихся на первый взгляд далеких друг от друга вопросов, таких как тензорный анализ и гармонический. Алгебраические основы этой теории были заложены Фробениусом на рубеже XX века. Уже тогда было ясно, что эта теория имеет тесную связь с теорией ассоциативных алгебр, которая постепенно занимает одно из главнейших мест в современной математике. Современная теория представлений может быть интерпретирована как абстрактный гармонический анализ. Если ограничиться компактными группами Ли, то получается замечательное обобщение классической теории рядов Фурье, где «обобщенные экспоненты» специального вида играют роль элементарных гармоник.

Группы Ли на данный момент имеют широкое применение в физике. Однако, несмотря на то, что с момента создания Эйнштейном теории относительности принципиальная роль теории бесконечных групп в теоретической физике стала очевидной, многие физики долгое время игнорировали использование групп Ли, ограничиваясь рассмотрением некоторых конечных групп (кристаллография). В настоящее время положение дел резко изменилось благодаря значительным успехам теоретико-группового подхода в классификации элементарных частиц.