4.4 Теория представлений групп

Для начала дадим наиболее простое определение представления группы:

Представление группы (точнее, линейное представление группы) - гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы Sn и знакопеременной группы An играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4.

В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство - гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Более формализовано определение представления группы выглядит так:

Пусть - заданная группа и - векторное пространство. Тогда представление группы - это отображение, которое каждому ставит в соответствие невырожденное линейное преобразование , причем выполняются следующие свойства

.

Примеры представлений групп:

) Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.

) Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор , где . Таким образом получается n-мерное представление группы .

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества X. Например: Проективное представление группы - гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

Теория представлений групп восходит к работам Эйлера, А.М. Лежандра, Гаусса, в которых появилось понятие характера коммутативной группы. В конце 18 века и в начале 19 века работами Г. Фробениуса, И. Шура (I. Schur), У. Бернсайда, Ф.Э. Молина, Р. Брауэра были заложены основы теории (конечномерных) линейных представлений (и теории характеров) конечных групп, в которой вместе с «абстрактной» группой G рассматриваются все ее гомоморфизмы в «конкретные» линейные группы GLn(K) над полями K (или, что тоже самое, модули над групповой алгеброй KG группы G над полем K). На дальнейшее развитие этого направления теории групп оказала сильное влияние монография Г. Вейля (H.Weyl, 1939), подведя итог этого периода.

Дж. фон Нейман (J. von Neumann), Г.Вейль, Э.Картан (E.J.Cartan) заложили основы теории представлений групп Ли и топологических групп. Теория двойственности Л.С.Понтрягина для характеров локально компактных абелевых групп явилась краеугольным камнем в основании топологической алгебры.