4.3 Общая характеристика дальнейшего развития теории групп

Расцвет теории конечных групп относится к концу XIX и первым десятилетиям XX столетия. В это время были получены основные результаты этой теории, намечены основные направления, созданы основные методы; вообще, теория конечных групп трудами своих крупнейших деятелей (Фробениус, Гельдер, Бернсайд, Шур, Миллер) приобрела в это время то лицо, все существенные черты которого она донесла до наших дней ).

В дальнейшем стало ясным, однако, что конечность групп является слишком сильным и не всегда естественным ограничением. Особенно важно, что это ограничение очень скоро привело к конфликту с потребностями соседних отделов математики: различные части геометрии, теория автоморфных функций, топология все чаще и чаще стали встречаться с алгебраическими образованиями, подобными группам, но бесконечными, и стали предъявлять к теории групп требования, удовлетворять которые теория конечных групп была не в состоянии. Вместе с тем с точки зрения самой алгебры, частью которой теория групп является, вряд ли можно было считать нормальным положение, при котором оставались за пределами теории такие простейшие и важнейшие группы, как, например, аддитивная группа целых чисел. Конечная группа должна была поэтому стать частью общего понятия группы, а теория конечных групп - главой в общей теории «бесконечных» (т. е. не обязательно конечных) групп.

Впервые в мировой литературе изложение основ теории групп без предположения, что рассматриваемые группы конечны, было cделано в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (Киев, 1916).Широкое развитие общей теории групп началось, однако, несколько позже и было связано с той радикальной перестройкой и тем переходом на теоретико-множественные основы, которые совершила алгебра в 20-х годах нашего века (Э. Нётер). В частности, именно отсюда пришли в теорию групп такие новые для нее понятия, как системы операторов и условия обрыва цепочек.

В дальнейшем работа в общей теории групп становилась все более бурной и разносторонней и к настоящему времени эта часть математики превратилась в широкую и богатую содержанием науку, занимающую одно из первых мест в современной алгебре. Понятно, что это развитие общей теории групп не могло игнорировать успехи, уже достигнутые в теории конечных групп. Наоборот, многое при этом развитии возникало из соответствующих частей теории конечных групп, причем руководящим было стремление заменить конечность группы теми естественными ограничениями, при которых данная теорема или данная теория еще остаются справедливыми и за пределами которых они теряют силу. Очень часто, впрочем, вопрос, простой и окончательно решенный в случае конечных групп, превращался в широко развитую и далекую от завершения теорию; такова, например, теория абелевых групп, одна из важнейших частей современной теории групп. Вместе с тем возникли и некоторые новые отделы, существенным образом связанные с рассмотрением бесконечных групп,- теория свободных групп, теория свободных произведений. Наконец, в некоторых случаях - прежде всего в вопросе о задании группы определяющими соотношениями - впервые удалось достигнуть четкости и строгости, недоступных теории групп на предшествующем этапе ее развития.