4.1 Вклад Артура Кэли

Первое определение и первые исследования абстрактных групп были опубликованы крупным английским математиком А. Кэли в 1854 г.

Он был первым, кто понял, что понятие группы независимо от объектов, к которым оно применяется. Он изложил свою концепцию в мемуаре, опубликованном в 1854 г.: «О группах, зависящих от символического уравнения ». В этом мемуаре Кэли привел абстрактное определение группы в духе символической алгебры Кембриджской школы: «Множество символов различных между собой и таких, что произведение двух из них (в произвольном порядке) либо произведение одного из них на себя принадлежит этому множеству, называется группой».

Таким образом, Кэли строго придерживался концепции конечной группы. В этом случае нет необходимости постулировать существование обратного для каждого элемента, поскольку среди всех степеней одного элемента найдется по крайней мере одна, скажем равная 1, и тогда из следует, что .

Для фиксированного целого числа n Кэли рассматривал возможные таблицы умножения для групп порядка n. Кэли не делал абсолютно никаких предположений относительно символов и описывал структуру конечных групп с помощью таблиц умножения и соотношений между образующими.

Таким образом, его новаторство заключается в том, что до тех пор понятие группы, как его сформулировал Галуа, относилось к теории подстановок, и элементами или символами всегда были отображения (на современном языке - морфизмы), но элементы группы сами никогда не рассматривались как величины - несомненно, потому, что если считать их величинами, то надо было бы определять две операции и рассматривать то, что мы теперь называем структурой поля. Выделять лишь один, закон композиции было неестественно.

Пример таблицы Кэли:

Также Кэли указал примеры групп в самых разных областях, рассмотрев с этой точки зрения теорию матриц (тогда еще совсем не формализованную), тело кватернионов, композицию квадратичных форм, а также множество корней n-й степени из единицы.

Мемуар Кэли добрых двадцать лет оставался в стороне от внимания математиков, и даже сам Кэли при изложении теории матриц не упоминал ни аддитивную, ни мультипликативную группы обратимых матриц.

4.2 Исследования к. Жордана

Рубежом в продолжающемся развитии теории групп было появление в 1870 г. капитального «Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» К. Жордана. Это было и первое систематическое полное изложение теории Галуа, и подробное изложение достигнутых к этому времени результатов в теории групп, включая и значительные достижения в этих областях самого Жордана. В этой книге была также введена жорданова нормальная форма матриц линейных преобразований. Появление труда Жордана стало событием во всей математике.

Камилл Жордан сделался непререкаемым авторитетом в области теории групп и теории Галуа. Можно сказать, что он предпринял научное воссоздание трудов Эвариста Галуа, дополнил его доказательства, использовал и развил все его краткие указания. Труд Жордана «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» остается до наших дней непревзойденным во многих отношениях.

Работая над теорией Галуа, Жордан отказался от узких рамок теории групп перестановок и рассматривал более абстрактное понятие конечной группы. В 1868 г. он провел классификацию всех групп движений трехмерного евклидова пространства. Также он занимался изучением линейных представлений группы, действующей на векторном пространстве, т. е. поиском гомоморфизмов этой группы в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства на себя (очевидно, тождественную группе обратимых квадратных матриц с вещественными или комплексными элементами, которая обозначается GL(n, R) или GL(n, С)).

Жордан провел систематическое изучение классических групп и их конечных подгрупп, затем он попытался определить все разрешимые конечные группы, чтобы найти все уравнения данной степени, разрешимые в радикалах.

С одной стороны, Жордан ввел основные современные понятия теории групп (факторгруппа, гомоморфизм, последовательность нормальных подгрупп некоторой группы, которую мы называем теперь последовательностью Жордана- Гёльдера, и т. д.). С другой стороны, при исследовании линейной группы он пришел к очень важным результатам о приведении матриц (так называемые жордановы формы).

Еще стоит упомянуть, что в своих сочинениях Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля, ставшие в XX в. предметом обстоятельных исследований.

При изложении теории Галуа Жордан использует уже современный способ сопоставления уравнению не некоторого множества перестановок корней, а группы подстановок, и критерий разрешимости уравнения в радикалах у него выражается в разрешимости его группы Галуа.

Ранее упоминавшийся фундаментальный трактат Жордана стал на некоторое время учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Выход его знаменует окончание периода рождения теории групп.