Реферат на тему

«Теория групп и её влияние на различные области математики»

Введение

В жизни современного общества очень важную роль играет математика. В настоящее время математика находит широкое применение при решении самых разнообразных проблем науки и практики.

Одной из наиболее важных и быстро развивающихся областей современной математики является абстрактная алгебра. В центре внимания современной абстрактной математики находятся различные алгебраические структуры, такие, как группы, подгруппы, полугруппы, кольца и так далее, ставшие уже классическими, а также, их далеко идущие обобщения - объекты новой природы.

Одним из фундаментальных разделов современной алгебры является теория групп. Группы, по существу, являются один из основных типов алгебраических структур.

Понадобилась работа нескольких поколений математиков, занявшая в общей сложности около ста лет, прежде чем идея группы выкристаллизировалась с ее сегодняшней ясностью.

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце XVIII века. В течение первый десятилетий XIX века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики. С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения, как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

Теоретико-множественные понятия и простые алгебраические структуры входят теперь, в конце XX в., в математический багаж школьника-старшеклассника и студента на самых первых порах высшего математического образования.

В свете вышесказанного, понятно, что любого, кто более или менее серьезно собирается заниматься математикой, не минует изучение теории групп. Эта много аспектная область знаний не обойдет стороной и тех, кто изучает теоретическую физику или квантовую механику.

Если открыть какой-нибудь классический учебник по теории групп, то можно увидеть уже конечный результат работы огромного количества ученых. Это конечно неплохо, но иногда для лучшего понимания предмета, полезно проследить за историей его возникновения. Это помогает лучше понять причины, по которым данная область знаний вообще появилась, зачем она была нужна и зачем она нужна сейчас. Изучение предмета в процессе его создания позволяет глубже проникнуть в суть каких-то вопросов. Мы можем следить за ходом мыслей великих ученых, увидеть сам процесс творчества. Это полезно, увлекательно и в каком-то смысле даже более интересно, чем просто чтение учебника.

Поэтому, целью данного реферата является рассказать об истории возникновения теории групп и процессе её исторического развития. История теории групп очень интересна, увлекательна, насыщенна выдающимися фактами и событиями. Более того, она не просто интересна. Изучив её подробно, можно понять суть этой теории гораздо глубже.

На данный момент имеется много книг, содержащих сведения об истории зарождения теории групп и общей алгебры. Некоторые из них содержат весьма детальную информацию, но все-таки неполную. В этом реферате, сделана попытка собрать воедино наиболее интересные факты из различных литературных источников, чтобы дать более полное представление об истории теории групп, современном положении дел в этой области и приложениях теории групп в различных областях математики, физики и др.

1. Основные понятия теории групп

Прежде чем перейти к истории, рассмотрим некоторые ключевые понятия теории групп.

Естественно, необходимо начать с самого понятия группы. Понятие группы - одна из самых важных объединяющих идей в математике. Оно собирает воедино широкий круг математических структур, для которых существует понятие комбинации или «произведения». Такие произведения включают обыкновенное арифметическое произведение чисел, но более типичный пример, - произведение или композиция функций. В частности, если f и g функции, то gf - функции, значение аргумента x которых - f(g(x)).

Определение понятия группы сформировалось не сразу. Например, Ф.Клейн и С.Ли, начавши разрабатывать теорию групп в ее приложениях к различным областям математики, дали такое определение:

Группа есть такая совокупность однозначных операций А, В, С, ..., что комбинация, двух каких-нибудь операций А, В из этой совокупности дает операцию С из той же совокупности: А*В =С.

В настоящий момент, формально определение выглядит следующим образом:

Группа G - это множество с одной бинарной операцией, подчиняющейся следующим аксиомам:

1). Для выполняется (замкнутость)

). для выполняется (ассоциативность)

). существует единица и для выполняется

). для существует обратный элемент , такой что выполняется тождество .

Эти аксиомы развивались на протяжении более ста лет работы с особыми группами, в течение которого их основные свойства выяснялись лишь постепенно. На практике, свойства 2) и 3), как правило, очевидны, и важнее гарантировать, что операция произведения действительно определена для всех элементов G. В ответ на это желание были созданы многие математические понятия, сначала неосознанно, ради существования произведений.

Приведем пример.

Будем рассматривать перспективные и проективные преобразования. Можно убедиться, что перспективный вид перспективного вида, вообще, не является перспективным видом. Поэтому, если мы примем, что «произведение» перспективного преобразования g и перспективного преобразования f является результатом выполнения g, затем f, то gf не всегда принадлежит множеству перспективных преобразований. Множество проективных преобразований - простейшее возможное расширение множества перспективных преобразований до множества, на котором произведение всегда определено, а именно, множество конечных произведений перспективных преобразований.

Стоит отметить, что аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми.

Группы можно очень обобщенно разделить на конечные и бесконечные. Конечные группы содержат конечное количество элементов. Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения».

В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Также группы можно классифицировать по другому критерию: дискретность или непрерывность.

Дискретная группа состоит из дискретного множества элементов. Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной. Наиболее известным примером непрерывных групп являются группы Ли. Более точно, группа Ли - это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Приведем еще несколько важных для дальнейшего определений:

. Группа называется циклической, если она порождена одним элементом g, то есть все её элементы являются степенями g (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде n*g, где n - целое число).

. Число элементов n = |G| конечной группы G называется ее порядком.

. Если G и G' - группы, то отображение f : G → G', для которого f(a*b) = f(a)*f(b) для всех a, b из G, называется гомоморфизмом групп. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. При наличии изоморфизма f : G → G' группы G и G' называются изоморфными, обозначение: G G'. Автоморфизмом называется изоморфизм группы на саму себя.

. Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M.

. Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

. Подгруппа N группы G называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента и любого , элемент .

. Задача классификации групп - описание групп с точностью до изоморфизма.

Как мы увидели, понятие группы очень четкое, логичное и лаконичное. Оно очень абстрактно и может быть применено во многих, порой даже неожиданных местах. Оно может быть полезно при проведении формальных доказательств. Но тем не менее и здесь есть место для критики. Например, в своей книге Феликс Клейн говорит следующее:

«Таким образом, здесь совершенно отказываются от обращения к фантазии. Взамен этого тщательно препарируется логический скелет. С этой тенденцией мы еще будем часто встречаться при продолжении наших лекций. Эта абстрактная формулировка превосходна для разработки доказательств, но совершенно не приспособлена для нахождения новых идей и методов. Она представляет собой известное завершение пройденного пути развития. Поэтому и преподавание она облегчает лишь внешне, постольку, поскольку с ее помощью можно просто и без про белов доказывать известные теоремы; с другой стороны, она внутренне очень затрудняет учащегося, так как он оказывается поставленным перед чем-то замкнутым и не знает, как пришли к такого рода определениям; к тому же он ничего не может представить себе наглядно. Вообще же этот метод имеет тот недостаток, что он не стимулирует мышления; нужно только следить за тем, чтобы не нарушить указанных четырех законов».

. Аддитивная группа (R, +) кольца R.

. Группа подстановок Sn множества из n элементов (симметрическая группа), группа An четных подстановок (знакопеременная группа).

. Группа симметрий геометрической фигуры (совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с ней самой). Среди них: группа симметрий Cn правильного ориентированного n-угольника и группа Dn всех симметрий правильного n-угольника.

. Линейные группы GLn(K) обратимых (n,n)-матриц над полем K (или группы GLn(R) обратимых (n,n)-матриц над кольцом R), являющиеся группами автоморфизмов n-мерного линейного пространства над полем K (свободного R-модуля с базисом из n элементов), в частности конечные линейные группы GLn(Fq) с коэффициентами из конечного поля Fq из q элементов. Группы автоморфизмов других алгебраических систем (групп, полугрупп, колец и.т.д.) лежат в этом русле.