Задания для самостоятельного решения

Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

Вариант 1.

1. 2. 3. 4. 5.

Вариант 2.

1. 2. 3. 4. 5.

Вопросы.

1. Запишите формулу интегрирования по частям.

2. Запишите пять любых интегралов в общем виде, для которых применяется формула интегрирования по частям.

3. Выберите из них любые две, и запишите, что обозначается в них через u, а что через dv.

Практическое занятие №8

Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов.

Цель: Проверить на практике понятие определённого интеграла, умение вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Умение вычислять площадь фигур с помощью определенных интегралов. Закрепление умений и навыков решения прикладных задач с помощью определённого интеграла.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практического занятия:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Повторить теоретический материал по теме «Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов»

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретический материал

Примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках.

2.Площадь криволинейной трапеции

Формула Ньютона – Лейбница

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле

Пример:

1. Определить площадь S фигуры, заключённой между ветвью кривой y = x² , осью OX и прямыми x = 0, x = 3.

Решение:

Построим данные линии.

1. y = x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Ответ: 9 кв.ед.

2. Вычисление площадей плоских фигур с использованием интеграла

Пример:

2) Найти площадь S фигуры, заключённой между осью OX и кривой y = x² – 4x

Решение: Построим данные линии.

1. y = x² – 4x

Н айдём координаты вершины параболы с помощью второй производной. y’ = 2x – 4

2x – 4 = 0

x = 2^;

y” = 2 > 0^; x = 2 – точка min^; y(2) = - 4

( 2;-4) –координаты вершины параболы.

х	2	3	4	5
У	-4	-3	0	5

Найдём пределы интегрирования. Для этого найдём абсциссы точек пересечения линий у=0 и y = x² – 4x. x² – 4x = 0 x ( x – 4 ) = 0 x₁ = 0 или x₂ = 4. Таким образом, а=0, b=4.

(пояснение: площадь фигуры имеет вид II , поэтому для нахождения площади фигуры применим формулу )

Ответ:

При нахождении площади плоской фигуры, часто применяется формула на основе теоремы:

ПРИМЕР:

3) Вычислить площадь фигуры ограниченной прямой у =3х и параболой у = - х² + 3х + 4.

Решение: Построим заданные линии. 1) у = 3х. Графиком является прямая проходящая через начало координат.

х	1
у	3