Теоретический материал и примеры применения производной к исследованию функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.
Находят область определения функции;
Проверяют функцию на четность и нечетность (заметим, что графики четных функций симметричны относительно оси (ОУ), а нечетных – относительно начала координат); проверяют функцию на периодичность;
Находят точки пересечения графика с координатными осями (ось ОХ имеет уравнение
,
ось ОУ имеет уравнение
);Находят асимптоты графика функции;
Исследуют функцию на монотонность и находят точки экстремума;
Находят интервалы выпуклости графика функции и точки его перегиба;
Строят график.
Для
применения данной схемы, вспомним
некоторые основные понятия и определения.
Прямая
называется наклонной
асимптотой
для графика функции
,
если
(1)
Числа k и b в уравнении асимптоты находятся из условий:
(2)
Если
, то прямая у=b
называется горизонтальной
асимптотой.
Прямая х =а называется вертикальной асимптотой графика функции , если
.
Заметим, что при нахождении вертикальных асимптот графика функции в качестве точки а, через которую может проходить вертикальная асимптота, следует рассматривать точку разрыва данной функции.
Правило нахождения интервалов монотонности и точек экстремума:
1. Найти область определения функции.
2.
Вычислить производную функции
;
3.
Найти критические точки функции, т.е.
точки в которых
или не существует;
4. Исследовать знак производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции этими критическими точками;
5. Если в рассматриваемом интервале
,
то на этом интервале функция убывает;
,
то на этом интервале функция возрастает.
6.
Если
- критическая точка и при переходе через
нее
меняет знак с «+» на « - », то
- точка максимума; если же она меняет
знак с « - » на «+», то
- точка минимума.
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба:
Вычислить вторую производную функции
;Найти у функции критические точки 2-го рода, т.е. точки в которых
или не существует;
Исследовать знак второй производной функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции критическими точками 2-го рода;
Если в рассматриваемом интервале
,
то на этом интервале график функции
выпуклый вверх;
,
то на этом интервале график функции
выпуклый вниз;
Если - критическая точка 2-го рода и при переходе через нее меняет знак, то - точка перегиба.
Пример
1: Исследовать функцию
и
построить ее график.
Решение: исследуем функцию по схеме:
D(y)=R;
-
функция не будет ни четной, ни нечетной;
функция непериодическая;Найдем точки пересечения с (ОХ):
.
Перебирая делители свободного члена,
находим целые нули функции:
.
Найдем
точки пересечения графика функции с
осью (ОУ): если
,
то
;
Асимптот нет;
Для нахождения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
.
Найдем критические точки функции:
.
Получим:
.
Найдем интервалы возрастания и убывания
функции:
Из
чертежа имеем, что функция возрастает
на
,
убывает на
.
Найдем экстремумы функции:
.
Значит, точка максимума имеет координаты
.
Значит, точка минимума имеет координаты
Для нахождения интервалов выпуклости графика функции вычислим вторую
производную:
.
Найдем критические точки 2 рода функции:
.
Определим знак второй производной в
интервалах, на которые разбивается
область определения
Значит,
график функции будет выпуклым вверх на
и
выпуклым вниз на
.
Т.к. вторая производная меняет знак при
переходе через точку
,
то в ней график будет иметь перегиб.
Вычислим:
.
Значит, точка перегиба
.
Построим график:
Пример
2.
Построить график функции
у =
Решение:
1. Найдем область определения функции. Она задается условиями x ≠ 1, x ≠ -1 (при значениях x ≠ 1, x ≠ -1 знаменатель дроби обращается в нуль). Итак,
D(f)=(-∞;1)(-1:1)(1;+∞).
2. Исследуем функцию на честность:
f
f(x)
Значит, заданная функция четна, ее график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0.
3. Точек пересечения графика функции с осью ОХ нет,
Найдем
точки пересечения графика функции с
осью ОУ: если
20
4.
Найдем асимптоты графика. Вертикальной
асимптотой является прямая x
= 1, поскольку при этом значении x
знаменатель дроби обращается в нуль, а
числитель отличен от нуля. Для отыскания
горизонтальной асимптоты надо вычислить
f(x):
.
Значит, y = 1 – горизонтальная асимптота графика функции.
5. Найдем критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y′
.
Критические
точки найдем из соотношения y´
= 0.
Получаем –4x
= 0,
откуда находим, что х
= 0.
При х < 0 имеем y´
> 0, а при х > 0 имеем y´
< 0. Значит, х = 0 – точка максимума
функции, причем уmax
=
f(0)=
.
При х > 0 имеем y´ < 0, но следует учесть наличие точки разрыва х = 1. Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке [0;1) функция убывает, на промежутке (1;+∞) функция также убывает.
Вычислим вторую производную
нигде
не обращается в ноль, критическими
точками будут только точки
.
Определим знак
в интервалах:
7. Отметим (0;-1) – точку максимума, построим прямые у = 1 – горизонтальную асимптоту, что x = 1 и x = - 1– вертикальные асимптоты,
Практическая работа №4
Вариант – 1.
Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции
+9x+3.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 2.
Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции
+24x-4.Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 3.
Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции
-9x-4.Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Вариант – 4.
Найти промежутки монотонности, точки экстремума, экстремум функции
+15x+1.Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Расчетно-графическая работа.
Исследуйте и постройте график данной функции.
Вариант – 1.
Вариант – 2.
Вариант – 3.
Вариант – 4.
Контрольные вопросы по теме.
Повторите определения возрастающей и убывающей функций. В чем заключается признак возрастания и убывания функций?
В чем заключаются необходимый и достаточный признаки существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.
В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?
Как пишется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке?
Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?
Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.
Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?
Практическое занятие №5
Тема: наибольшее и наименьшее значения функции.
Цель: научиться вычислять наибольшее и наименьшее значения функции
и уметь применять полученные навыки при решении практических
задач.
Цель: Проверить на практике умение находить наибольшее и наименьшее значения функции и применение их при решение практических задач
Задачи:
• развитие творческого профессионального мышления;
• познавательная мотивация;
• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
• углубление теоретической и практической подготовки;
• развитие инициативы и самостоятельности обучающихся.
Обеспечение практического занятия:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности обучающихся к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
› Повторение теоретический материал по теме «Исследование функций и построение их графиков.»
› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
› Выполнить самостоятельную работу
› Ответить на контрольные вопросы.
Проверка готовности обучающихся к занятию
Назовите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Дана функция у=3х3 – 9х2 -27х – 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.
Теоретический материал и методические рекомендации по выполнению практической работе
Самое большое среди всех значений, которое функция принимает на заданном промежутке, называется наибольшим значением функции на этом промежутке.
Самое маленькое среди всех значений, которое функция принимает на заданном промежутке, называется наименьшим значением функции на этом промежутке.
В зависимости от вида промежутка, на котором мы исследуем функцию и на котором мы находим наибольшее или наименьшее значения функции, она может иметь и наибольшее значение, и наименьшее значение; может иметь только одно из них, а может не иметь и ни одного.
не имеет наименьшего значения, наибольшее значение
функции равно 0.
Пример
3. Функция у = х2
на всей числовой прямой не
имеет наибольшего значения, наименьшее значение функции равно 0.
Пример 4. Функция у = sin x на всей числовой прямой имеет и наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее значение функции равно – 1. Точек, где принимаются наибольшее и наименьшее значения, бесконечно много.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Если функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке всегда найдутся точки, в которых она принимает и наибольшее и наименьшее значения. Эти значения функция принимает или в критических точках (т. е во внутренних точках области определения, в которых функция f '(х) или равна нулю или не существует), или на концах отрезка [a;b].
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции у = f(x) на отрезке [a;b].
Находим область определения функции;
Находим f '(x);
Находим точки, в которых f '(x) = 0 или не существует, и отбираем из них те, что лежат внутри отрезка [a;b];
Находим значение функции у = f(x) в точках, полученных в 2. и на концах отрезка.
Из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение.
Пример
1. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [1;3].
Решение: 1. D(f) = R.
2.
3.
f
'(x)
= 0. Имеем,
.
Так
как
при любых х, то 6х – 3х2
= 0 |: 3
2x – x2 = 0
x(2 – x) = 0
x = 0 или х =2
Точек, в которых производная не существует, нет.
0 и 2 критические точки.
4. f(2) = 3,5; f(1) = 3,5e-2; f(3) = 3,5e-4
5. max f(x) = f(2) = 3,5.
[1;3]
Ответ: 3,5.
Пример2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = x3 – 3x2 + 4 на отрезке [1; 3].
Решение:
1) Функция f (x) непрерывна на отрезке [1; 3].
Находим f /(x) =3x2 – 6x.
2) f /(x) = 0, 3x2 – 6x = 0, 3х(х – 2) = 0, х = 0, х = 2.
Критические точки х = 0, х = 2.
3) Отрезку [1;3] принадлежит лишь одна из этих критических точек, а
именно х = 2. Вычислим значения функции f (x) в точке х = 2 и на концах
отрезка х = 1 и х = 3.
f (2) = 23 – 3. 22 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0;
f (1) = 13 – 3. 12 + 4 = 1 – 3 + 4 = 2;
f (3) = 33 – 3. 32 + 4 = 27 – 27 + 4 = 4.
4) Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и оно
достигается на правой границе отрезка в точке х = 3; наименьшее
значение функции равно 0 и достигается ею во внутренней точке х = 2.
Задания для практической работы
1. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций:
№2
Контрольные вопросы
Всегда ли функция на всей области имеет наибольшее и наименьшее значения?
Приведите пример графика функции, которая имеет наибольшее значение.
Приведите пример графика функции, которая имеет наименьшее значение.
Приведите пример графика функции, которая имеет наибольшее и наименьшее значения.
Назовите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Практическое занятие №6
Тема: Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием и методом ввода новой переменной
Цель: закрепить на практике теоретический материал на понятие неопределённого интеграла , формирование умений и навыков на нахождение неопределённого интеграла методом непосредственного интегрирования и методом ввода новой переменной..
Обеспечение практического занятия:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
Задачи:
• развитие творческого профессионального мышления;
• познавательная мотивация;
• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
• углубление теоретической и практической подготовки;
• развитие инициативы и самостоятельности обучающихся.
Ход практического занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;
2.Проверка готовности обучающихся к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:
› Повторить теоретический материал по теме «Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием и методом ввода новой переменной.»
› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
› Выполнить практическую №4.
› Ответить на контрольные вопросы.