Изображение синусоидальных функций времени векторами на комплексной плоскости. Понятие о векторных диаграммах (вд)

Тригонометрическая форма записи токов, напряжений крайне неудобна для расчёта электрических цепей. С этой целью синусоидальные (только синусоидальные!) токи и напряжения представляют вращающимися векторами на комплексной плоскости.

В математике используется соотношение Эйлера е^j = cos + j·sin, где j = , из которого следует, что синусоидальные токи, напряжения, ЭДС можно рассматривать как мнимую часть комплексного числа – комплексного мгновенного значения тока, напряжения, ЭДС, где комплексное мгновенное значение – это

X_m·e^j(t+) = X_m·cos(t + ) + j·X_m·sin(t + ).

Можно записать иначе X_m·e^j(t+) = X_m·e^j·e^jt = X_m·e^jt,

где Х_m = Х_m·e^j – комплексная амплитуда числа,

Х_m – модуль,  – аргумент комплексного числа,

e^jt – сомножитель, называемый оператором поворота радиус-вектора на комплексной плоскости или поворотным множителем. Величины же вектора он не изменяет.

Т аким образом, комплексное число Х_m·e^j(t+) = Х_m·e^jt отражает вращающийся с угловой скоростью  вектор (рис. 3.3). В любой момент времени проекция такого вектора на ось ординат даёт мгновенное значение x(t). Поскольку при одной частоте все векторы вращаются с одной и той же скоростью , сомножитель e^jt можно опустить и пользоваться комплексами I_m, U_m, E_m или I, U, E, которые отражают синусоидально изменяющиеся величины в единый момент времени t = 0 и, таким образом, уже не зависят от времени.

Легко заметить, что алгебраическому сложению мгновенных значений соответствует геометрическое сложение векторов. На этом и базируется упрощение расчёта электрических цепей.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты с учётом их взаимной ориентации по фазе, называют векторной диаграммой.

В аттметр – прибор для измерения мощности

Прибором для измерения мощности в электрических цепях является ваттметр. Он используется в цепях периодического тока, в противном случае измерение мощности бессмысленно.

Однофазный ваттметр содержит две катушки, неподвижную и подвижную, вращающуюся на подшипниках и соединенную со стрелкой. Она поворачивается против усилия пружины. Неподвижная катушка включается как амперметр последовательно с нагрузкой и называется токовой обмоткой. Подвижная катушка включается как вольтметр параллельно нагрузке, пропускает малый ток, совпадающий по фазе и пропорциональный по величине напряжению на нагрузке. Она называется обмоткой напряжения. Эти соединения показаны на рис. 3.4.

Ваттметр измеряет среднюю за период мощность. В цепи постоянного тока мощность равна P = U·I. В цепи синусоидального тока показание ваттметра равно произведению действующих значений напряжения на обмотке напряжения и тока токовой обмотки и косинуса угла сдвига фаз между ними: P = U·I·cosj = Re(U· ).

Начала обмоток маркируются специальными знаками – точками или звездочками. Отклонение в сторону шкалы получается, если направление передачи мощности – от маркированных выводов к немаркированным. Если случается отклонение за шкалу, необходимо поменять местами выводы обмотки напряжения (по ней протекает меньший ток, его легче коммутировать и не нарушается токовая цепь нагрузки, а измеряемую мощность считать отрицательной. На реальном ваттметре с этой целью используется переключатель “±”.

R, L, C – элементы в цепях синусоидального тока

Электрический ток неразрывно связан с электрическими и магнитными полями. При переменном токе эти поля также изменяются во времени. Это приводит к тому, что процессы в цепях переменного тока носят значительно более сложный характер чем при постоянном токе, поскольку изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, а изменение электрического поля приводит к изменению зарядов проводников или появлению тока, а ток создаёт переменное магнитное поля. Имеет место также преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в конечном итоге – в тепло. В связи с этим необходиом учитывать все три вида идеализированных пассивных элементов (R, L, C).

Резистивный элемент R (рис. 3.5)

П усть ток i_R(t) = I_Rm·sin(t + _i). Природа сопротивления R протеканию электрического тока такова, что оно не вызывает между током и напряжением сдвига фаз. Поэтому связь между током и напряжением здесь подчиняется закону Ома в любой момент времени:

u_R(t) = R·I_Rm·sin(t + _i) = U_Rm·sin(t + _u).

По полученным соотношениям можно построить ВД (рис. 3.6).

Мгновенная мощность как произведение мгновенных значений напряжения и тока:

p_R(t) = u_R(t)·i_R(t) = U_Rm·I_Rm·sin²(t + _i) =

= U I ·½[1 – cos(2t + 2_i)] = U·I – U·I·cos(2t + 2_i).

Активной мощностью цепи переменного тока принято называть среднее за период значение мгновенной мощности. В данном случае активная мощность P = U·I = R·I², то есть вычисляется по той же формуле, что и в цепях постоянного тока. Потребленная в течение времени t энергия:

W_R = = – = P[t + sin(2_i) – sin(2t + 2_i)].

В ременные графики для резистивной цепи на рис. 3.7.