Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция7_Проекционные методы
.pdfТема 7. Проекционные методы решения краевых задач
Теоретические основы проекционных методов
Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле
Двумерная краевая задача Дирихле
Метод Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ
05.01.2011 |
1 |
Теоретические основы проекционных методов
Основная задача классического вариационного исчисления:
Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1
На которой достигается |
b |
|
|
J [u ] x , u , u d x; |
|||
|
|||
минимум функционала |
u |
||
|
a |
|
|
|
|
Центральная теорема: минимум доставляет решение дифференциального уравнения Эйлера
d u
d x
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
u |
|
x |
u |
|
||
05.01.2011 |
2 |
Например
• u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T
• |
u ( x ) - скорость |
u 2 |
• |
Затраты пропорциональны квадрату скорости |
• При каком законе движения обеспечивается минимум
затрат на пути |
|
0≤ u(х) ≤ s ? T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m in u ( x ) 2 d x |
u ( x ) 2 |
• Уравнение Эйлера |
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
2 u |
0; u ( 0 ) 0; u (T ) s |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
u |
|
x |
u |
|
|
x |
|
|
|
||
• Оптимальный закон |
u ( x ) s x |
|
(линейный!) |
|
T |
|
|
|
05.01.2011 |
3 |
Сведение решения ДУ к минимизации функционала
•Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению ДУ.
•Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала.
•Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:
L u f ; u Г ( Г )
•Область определения функции u: R(u)= ; Г – граница
.
05.01.2011 |
4 |
Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид
J [u ] L u , u 2 f , u
L u , u |
L u ( x ) u ( x ) d x |
f , g f ( x ) g ( x ) d x |
|
|
|
Самым универсальным и во многих случаях единственным способом нахождения минимума функционала общего вида является метод Ритца (W. Ritz), впервые им предложенный в 1908 г.
05.01.2011 |
5 |
Метод Ритца
Выбираем базис 1 ( x ), 2 ( x ), ..., N ( x )
Свойства линейной независимости и полноты
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
m ( x ) |
a k k ( x ); |
u ( x ) |
lim |
a k k ( x ). |
|
|
|
|||
|
k 1 k m |
|
|
N |
|
k 1 |
|
|
|
|
Ищем решение в виде |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u N ( x ) a k k ( x ). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем в функционал |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J [ u N ] J |
a k k |
F ( a1 , a |
|
|
|
|||
|
|
|
( x ) |
2 |
, ..., a N |
) |
||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
получаем задачу минимизации функции n переменных
|
m in |
F ( a1 , a 2 , ..., a N |
). |
05.01.2011 |
a1 ,...,a N |
|
6 |
Примеры базисных функций обладающих полнотой
• Полиномы 1, x , x 2 , x 3 , |
..., x n |
|
1 x 1; |
2 x |
|
|
|||
|
k 2 , 3, |
|
|
|
..., n ; |
||
|
|||
|
|
x ; |
k 1 |
x |
2 k 1 x |
k |
x k |
|
|
|
|
1 x 1 п о л и н о м ы Л е ж а н д р а
x ,
k 1
• Тригонометрические функции
k sin ( k x ), k 1 ... N ; (0 ) (1) 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
c o s( k |
|
|
x ), |
k 1 ... N ; |
( 0 ) 1, (1) |
0 |
|
||
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k |
sin ( k |
|
|
x ), |
k 1 ... N ; |
( 0 ) 0, (1) 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
k |
sin( k x ), k cos( k x ), k 1... N |
|
||||||||
•От удачного выбора базиса зависит эффективность решения задачи
05.01.2011 |
7 |
Минимизация квадратичного функционала с |
|
||||
линейным оператором L |
J [u ] L u , u 2 |
f , u |
|||
После подстановки uN(x) |
|
|
|||
|
N |
N |
|
N N |
N |
F L a k k ( x ), a i i |
( x ) 2 f , a i i a k a i L k , i 2 a i f , i |
||||
|
k 1 |
i 1 |
|
k 1 i 1 |
i 1 |
Воспользуемся условием экстремума
F ( a1 |
, ..., a N ) |
|
N |
|
|
2 |
a k L k , i 2 f , i 0; |
i 1 ...N |
|||
a i |
|||||
|
k 1 |
|
|||
Получаем СЛАУ
N |
|
a k L k , i f , i ; |
i 1 ..N |
k 1 |
|
05.01.2011 |
8 |
Системы проекционных уравнений
• |
Запишем |
a k ( L k , i ) L a k k , i f , i |
|
|
|
||
• |
Или |
L u N |
, i f , i |
• |
Проекция |
L u N |
f , i 0 |
•Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса
• |
В общем случае |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L a k k |
|
f , K i ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, K i |
i 1 ...N |
|
|||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Два базиса 1 ( x ), 2 ( x ), ..., N ( x ) |
|
( x ), |
|
( x ), ..., |
|
( x ) |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
N |
|
||||||
• Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0
05.01.2011 |
9 |
Проекционные методы
•Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915 г.
•Б.Г. Галеркин
•В зависимости от выбора в функций и оператора K эти методы имеют свои названия
•метод Бубнова-Галеркина: K=I , = оператор L
может не быть симметричным и положительно определенным
•метод Галеркина-Петрова: K=I , ≠
•метод наименьших квадратов: K=L , =
05.01.2011 |
10 |