Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция7_Проекционные методы
.pdfДвумерная краевая задача Дирихле
|
|
g ( x , y ) |
u |
|
|
|
g ( x , y ) |
u |
f ( x , y ); |
u |
|
Г ( Г ); |
||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|||||||||||
x |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
• |
Выбираем базис |
0 |
( x , y ), 1 ( x, y ), ..., N ( x, y ) |
|
|
||
|
|
|
N |
• |
Решение ищем в виде |
u N a k k ( x , y ) |
|
|
|
|
k 0 |
• |
Проекционное уравнение |
|
|
|
|
|
|
u |
N |
|
|
|
|||
|
g |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
x |
x |
||
|
|
|
|
u |
N |
|
|
||||
|
g |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
y |
y |
||
|
i |
d f i d |
|
||
|
|
|
05.01.2011
x , y
21
Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение)
•Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного случая
v |
u |
|
d u |
|
v |
d |
u v n x d Г , |
|
|
||
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
Г |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
u |
d S u |
v |
d |
u v n y d Г . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
y |
|
2 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
n ( n x , n y ); n x |
n y |
|
• Получаем проекционное уравнение без вторых производных
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a k |
g |
|
k |
|
|
i |
|
|
k |
|
i |
d |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k 0 |
|
|
|
x |
|
x |
y |
|
y |
|
|
||||
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g |
|
n x |
|
|
n y |
i d Г |
f i . |
||||
|
|
y |
|||||||||
Г |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
05.01.2011 |
22 |
Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ методом Канторовича
•Задана краевая задача в цилиндрической области вида
L u ( xyz ) f ; |
u |
|
z 0 ( xy ); |
u |
|
z L ( xy ); |
u |
|
Г 0, |
|
|
|
|
|
|||||||
• Г - граница области поперечного сечения Г |
x , y Г |
|
|
|
||||||
•Решение ищем в виде разложения по базису
|
|
N |
|
1 ( x, y ), ..., N |
( x, y ) |
|
u |
N |
a k |
( z ) k ( x , y ) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
k1
•Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L a k |
( z ) k |
( x , y ) i |
( x , y ) d xd y |
f ( x , y , z ) i ( x , y ) d xd y |
||
Г |
|
k 1 |
|
|
|
Г |
05.01.2011 |
23 |
• Метод Канторовича (продолжение)
|
( g 1 |
a |
1 |
) q1 |
a |
1 |
|
p1 a1 f ( z , a 2 , ..., a m ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z |
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
................................................................... |
|||||||||||||
|
|
|
|
a m |
|
|
a m |
|
|||||
|
( g m |
|
) q m |
p m a m f ( z , a1 , ..., a m 1 ). |
|||||||||
z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
z |
|
|
z |
|
||||||
|
a k ( 0 ) k ; |
|
|
a k ( L ) k |
|||||||||
k k i d xd y i d xd y ; |
k k i d xd y i d xd y . |
||||
k |
Г |
Г |
k |
Г |
Г |
|
|
||||
05.01.2011 |
24 |
Конец темы 7
05.01.2011 |
25 |