Скачиваний:
36
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
230.4 Кб
Скачать

Тема 7. Проекционные методы решения краевых задач

Теоретические основы проекционных методов

Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле

Двумерная краевая задача Дирихле

Метод Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ

06/25/19

1

Теоретические основы проекционных методов

Основная задача классического вариационного исчисления:

Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1

 

b

 

 

 

 

 

 

du

На которой достигается

J[u] x,u,u dx;

u

dx

 

минимум функционала

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Центральная теорема: минимум доставляет решение

 

 

дифференциального уравнения Эйлера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

x u

 

 

 

06/25/19

2

Например

u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T

u ( x) - скорость

Затраты пропорциональны квадрату скорости u

При каком законе движения обеспечивается минимум2

затрат на пути

0≤ u(х) ≤ s ? T

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min u ( x)

 

u ( x)

 

• Уравнение Эйлера

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0; u(0)

0;

u(T ) s

 

 

 

 

 

2

 

u

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оптимальный закон (линейный!)

u( x) s Tx

06/25/19

3

Сведение решения ДУ к минимизации функционала

Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению ДУ.

Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала.

Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:

Lu f ;

( )

 

Г

Область определения функции u: R(u)= ; Г – граница

.

06/25/19

4

Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид

J[u] Lu,u 2 f ,u

Lu,u Lu(x) u( x)dx

f , g f ( x)g( x)dx

 

 

Самым универсальным и во многих случаях единственным способом нахождения минимума функционала общего вида является метод Ритца (W. Ritz), впервые им предложенный в 1908 г.

06/25/19

5

Метод Ритца

Выбираем базис 1(x), 2 (x),..., N (x)

Свойства линейной независимости и полноты

 

 

( x)

N

 

 

 

 

u( x) lim

 

N

 

 

 

 

 

 

 

m

 

a

k

( x);

 

a

k

( x).

 

 

 

 

 

k

 

 

 

N

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1k m

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

Ищем решение в виде

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uN

(x) ak k (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем в функционал

J[uN ] J

N

a

 

 

 

 

 

 

,..., a

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

( x)

F(a , a

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем задачу минимизации функции n переменных

 

 

 

 

 

 

min F(a1

, a2 ,..., aN ).

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

06/25/19a1,...,aN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры базисных функций обладающих полнотой

Полиномы 1, x, x2 , x3, ..., xn

 

1

 

2

 

 

k 1

 

 

 

k

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x;

 

x 2k 1 x

 

x k

 

x ,

 

x 1; x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2,3, ...,

n;

 

1 xполиномы1

Лежандра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции

k sin(k x), k 1...N; (0) (1) 0

 

 

 

cos(k

 

x), k 1...N;

(0) 1, (1)

0

 

 

k

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(k

 

x), k 1...N;

(0) 0, (1) 1

 

 

k

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

sin(k x), k cos(k x), k 1...N

 

 

• От удачного выбора базиса зависит эффективность решения задачи

7

06/25/19

Минимизация квадратичного функционала с

f ,u

 

линейным оператором L

J[u] Lu,u

 

2

 

После подстановки uN(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

k

 

N

 

 

 

 

i i

 

N N

k

 

i

 

 

N

i

 

k

(x),

i i

(x)

 

f ,

 

k i

,

 

2

i

F L

a

 

a

2

 

 

a

a a

L

 

a

f ,

 

k 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1 i 1

 

 

 

 

 

i 1

 

Воспользуемся условием экстремума

F(a1,..., aN )

2 ak L k , i 2

f , i 0;

i 1...N

 

N

 

 

ai

k 1

 

 

Получаем СЛАУ

N

 

 

ak L k , i f , i ;

i 1..N

 

k 1

 

06/25/19

8

Системы проекционных уравнений

Запишем

ak (L k , i )

L ak k , i

f , i

 

 

Или

Lu

N

, i

f , i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекция

LuN

f , i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой

 

 

задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением

 

скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса

 

 

 

 

 

 

N

 

, K

 

 

 

f

, K

i

;

i 1...N

 

 

L

a

k

i

 

В общем случае

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1(x), 2 (x),..., N (x)

 

 

 

1

(x),

2

(x),...,

N

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

Два базиса

Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0

06/25/19

9

Проекционные методы

Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915 г.

Б.Г. Галеркин

В зависимости от выбора в функций и оператора K эти методы имеют свои названия

метод Бубнова-Галеркина: K=I , = оператор L может не быть симметричным и положительно определенным

метод Галеркина-Петрова: K=I , ≠

метод наименьших квадратов: K=L , =

06/25/19

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.