Тема 7. Проекционные методы решения краевых задач
Теоретические основы проекционных методов
Пример решения одномерной краевой задачи Дирихле
Двумерная краевая задача Дирихле
Метод Канторовича сведения задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ
06/25/19 |
1 |
Теоретические основы проекционных методов
Основная задача классического вариационного исчисления:
Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1
|
b |
|
|
|
|
|
|
du |
||
На которой достигается |
J[u] x,u,u dx; |
|||||||||
u |
dx |
|
||||||||
минимум функционала |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Центральная теорема: минимум доставляет решение |
|
|
||||||||
дифференциального уравнения Эйлера |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x u |
|
|
|
||||||
06/25/19 |
2 |
Например
•u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T
•u ( x) - скорость
•Затраты пропорциональны квадрату скорости u
•При каком законе движения обеспечивается минимум2
затрат на пути |
0≤ u(х) ≤ s ? T |
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min u ( x) |
|
u ( x) |
|
|||
• Уравнение Эйлера |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0; u(0) |
0; |
u(T ) s |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
u |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
•Оптимальный закон (линейный!)
u( x) s Tx
06/25/19 |
3 |
Сведение решения ДУ к минимизации функционала
•Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению ДУ.
•Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала.
•Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:
Lu f ; |
uГ ( ) |
|
Г |
•Область определения функции u: R(u)= ; Г – граница
.
06/25/19 |
4 |
Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид
J[u] Lu,u 2 f ,u
Lu,u Lu(x) u( x)dx |
f , g f ( x)g( x)dx |
|
|
Самым универсальным и во многих случаях единственным способом нахождения минимума функционала общего вида является метод Ритца (W. Ritz), впервые им предложенный в 1908 г.
06/25/19 |
5 |
Метод Ритца
Выбираем базис 1(x), 2 (x),..., N (x)
Свойства линейной независимости и полноты
|
|
( x) |
N |
|
|
|
|
u( x) lim |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
|
a |
k |
( x); |
|
a |
k |
( x). |
|
|
|
|||||||||
|
|
k |
|
|
|
N |
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k 1k m |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ищем решение в виде |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
uN |
(x) ak k (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем в функционал |
J[uN ] J |
N |
a |
|
|
|
|
|
|
,..., a |
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
( x) |
F(a , a |
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем задачу минимизации функции n переменных |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
min F(a1 |
, a2 ,..., aN ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
|
|
06/25/19a1,...,aN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Примеры базисных функций обладающих полнотой
•Полиномы 1, x, x2 , x3, ..., xn
|
1 |
|
2 |
|
|
k 1 |
|
|
|
k |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x; |
|
x 2k 1 x |
|
x k |
|
x , |
|
||||
x 1; x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2,3, ..., |
n; |
|
1 xполиномы1 |
Лежандра |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Тригонометрические функции
k sin(k x), k 1...N; (0) (1) 0
|
|
|
cos(k |
|
x), k 1...N; |
(0) 1, (1) |
0 |
|
|
k |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(k |
|
x), k 1...N; |
(0) 0, (1) 1 |
|
|
|
k |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
sin(k x), k cos(k x), k 1...N |
|
|
|||||
• От удачного выбора базиса зависит эффективность решения задачи |
7 |
06/25/19 |
Минимизация квадратичного функционала с |
f ,u |
|
|||||||||||||||||
линейным оператором L |
J[u] Lu,u |
|
2 |
|
|||||||||||||||
После подстановки uN(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
k |
|
N |
|
|
|
|
i i |
|
N N |
k |
|
i |
|
|
N |
i |
|
|
k |
(x), |
i i |
(x) |
|
f , |
|
k i |
, |
|
2 |
i |
|||||||
F L |
a |
|
a |
2 |
|
|
a |
a a |
L |
|
a |
f , |
|||||||
|
k 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
Воспользуемся условием экстремума
F(a1,..., aN ) |
2 ak L k , i 2 |
f , i 0; |
i 1...N |
|
N |
|
|
ai |
k 1 |
|
|
Получаем СЛАУ |
N |
|
|
ak L k , i f , i ; |
i 1..N |
|
k 1 |
|
06/25/19 |
8 |
Системы проекционных уравнений
• |
Запишем |
ak (L k , i ) |
L ak k , i |
f , i |
|
|
|||||||||||||
• |
Или |
Lu |
N |
, i |
f , i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
Проекция |
LuN |
f , i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой |
|
|||||||||||||||||
|
задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением |
||||||||||||||||||
|
скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
, K |
|
|
|
f |
, K |
i |
; |
i 1...N |
|||||
• |
|
|
L |
a |
k |
i |
|
||||||||||||
В общем случае |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x), 2 (x),..., N (x) |
|
|
|
1 |
(x), |
2 |
(x),..., |
N |
(x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
•Два базиса
•Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0
06/25/19 |
9 |
Проекционные методы
•Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915 г.
•Б.Г. Галеркин
•В зависимости от выбора в функций и оператора K эти методы имеют свои названия
•метод Бубнова-Галеркина: K=I , = оператор L может не быть симметричным и положительно определенным
•метод Галеркина-Петрова: K=I , ≠
•метод наименьших квадратов: K=L , =
06/25/19 |
10 |