Двумерная краевая задача Дирихле
|
u |
|
u |
|
|
|||
|
g(x, y) |
|
|
g(x, y) |
|
f (x, y); |
uГ x( y); |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
|
Г |
|
x |
x |
y |
|
|
|
|||
• |
Выбираем базис |
0 |
(x, y), 1 (x, y),..., N (x, y) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
N |
• |
Решение ищем в виде |
uN |
ak k (x, y) |
|
k 0
•Проекционное уравнение
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|||
|
|
g |
|
|
g |
|
d |
f d |
||||||
|
x |
x |
y |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
06/25/19 |
21 |
Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение)
•Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного случая
|
v |
u d |
|
u |
|
v |
d |
|
uvnxdГ, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
u |
dS |
|
u |
v |
d |
|
uvnydГ. |
r |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
y |
|
|
(nx , ny ); |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
n |
nx |
ny |
|||||||||
•Получаем проекционное уравнение без вторых производных
N
ak
k 0
g xk
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
i |
|
|
i |
d |
g |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
dГ f . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
i |
||||
x |
y y |
|
|
|
x |
|
y |
i |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
06/25/19 |
22 |
Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ методом Канторовича
•Задана краевая задача в цилиндрической области вида
|
Lu(xyz) f ; |
u |
|
z 0 (xy); |
u |
|
z LГ (xy); u |
|
0, |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
Г - граница области поперечного сечения Г |
x, y Г |
|
|
||||||||
• |
Решение ищем в виде разложения по базису |
1 (x, y),..., N (x, y) |
||||||||||
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
ak (z) k (x, y) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k1
•Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
(z) |
|
(x, y) |
(x, y) dxdy |
|
f (x, y, z) |
(x, y)dxdy |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
L |
a |
k |
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
i |
|
|
i |
|
||
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
06/25/19 |
23 |
• Метод Канторовича (продолжение)
|
|
(g |
|
a1 ) q |
a1 p a |
f (z, a ,..., a |
|
) |
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
||||||||||||||
1 |
z |
1 |
|
z |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
................................................................... |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g |
|
am ) q |
|
p |
|
a |
|
f (z, a ,...,a |
m 1 |
). |
||||||
|
|
m z |
|
|
||||||||||||||
z |
|
m z |
|
|
|
|
m |
|
m |
1 |
|
|
|
|||||
ak (0) k ; |
|
|
ak (L) k |
|
|
|
|
|||||||||||
k k idxdy idxdy; |
|
|
k k i dxdy i dxdy. |
|||||||||||||||
k Г |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
k |
Г |
|
|
|
Г |
||
06/25/19 |
24 |
Конец темы 7
06/25/19 |
25 |