Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
49
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
408.68 Кб
Скачать

Тема 9. Метод конечных элементов

Связь метода сеток и метода конечных элементов

Пример решения одномерной задачи

Решение двухмерной задачи на треугольной сетке

05.01.2011

1

Связь метода сеток (МС) и метода конечных элементов (МКЭ)

МКЭ в настоящее время является одним из наиболее востребованных и универсальных методов решения задач математической физики

МКЭ представляет собой синтез метода сеток и проекционного метода Галеркина с выбором базиса из финитных функций, носители которых (конечные элементы) покрывают каждый узел сетки

МКЭ – это тот же классический метод сеток, в котором конечноразностная схема получается в результате применения проекционной процедуры к базису из финитных функций, привязанных к каждому узлу сетки.

Такой способ получения конечно-разностной схемы позволил избавиться от основного недостатка классического метода сеток – привязки узлов сетки к координатным линиям, что позволило в случае многомерных задач гибко адаптировать сетку к произвольной форме границ и особенностям искомого

05.01решения.2011

2

Пример решения одномерной задачи

Задача Дирихле

 

 

g ( x )

u

 

q ( x )

u

p ( x )u f x ;

u ( 0 ) ;

u ( b ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

x

 

 

 

Выбираем равномерную сетку

 

 

 

 

 

h

xk

( k 1)h ; h b / n ;

k 1 ... N

n 1

 

Решение ищем в виде

N

 

 

 

 

 

 

u N ( x )

 

 

 

 

 

 

 

N

u k k ( x )

 

 

 

 

 

u1 ,

u

k 1

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

3

Базис из финитных функцийкрышек

u(x)

u k k

 

1

k

 

N

 

 

 

x

 

xk

xk+1

 

 

 

 

 

0

k-1

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u N ( x ) u k k

( x ), k

11

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

h

 

 

05.01.2011

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стандартная финитная функциякрышка

1

 

1

 

1

 

d 11

 

1

 

 

 

d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

-1

 

 

-1

0

 

1

-1

0

1

 

 

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

x

 

1,

 

1

0 ,

 

x

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

( x ) x

1,

1 x 0 ,

1

 

1,

1 x 0 ,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

0 x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x ,

0

x

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

5

Функции базиса

 

 

0,

 

x x k

h ,

k

 

( x x k 1 ) / h ,

x k 1 x x k ,

 

 

 

( x k 1 x ) / h ,

 

x k x x k 1 .

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

x x k

1,

k

 

 

1 / h ,

x k 1 x x k ,

 

 

x

 

 

1 / h ,

 

x k x x k 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

6

проекционные уравнения

b

 

 

 

u

N

 

 

 

g ( x )

 

 

x

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

N

 

 

 

b

 

 

 

p ( x )u N

 

 

f x ( x ) d x ;

 

q ( x )

 

( x ) d x

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

x

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.i 1 .. N

N

u N ( x ) u k k ( x )

k 1

Вычислим каждый интеграл по отдельности для i=2..N-1

05.01.2011

7

Смежные базисные функции

i-1

i

i+1

xi-1

xi

xi+1

u N ( x )

 

 

( x ) ...

 

 

 

 

( x )

 

 

 

 

( x )

 

 

 

 

( x ) ...

 

 

 

 

 

u

u

 

i 1

u

i

u

 

i 1

u

N

N

( x )

1 1

 

 

i 1

 

i

 

 

 

i 1

 

 

 

 

05.01.2011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1) Правая часть

b

 

xi 1

 

f ( xi 1 / 2 ) f ( xi 1 / 2 )

 

 

f i d x

 

f i d x fi h

 

 

h f ( xi

)

2

0

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

9

2) Первый член дифференциального оператора

b

 

 

 

 

u

N

 

 

 

 

 

g ( x )

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

g ( x )

u k

 

 

 

x

 

 

 

 

0

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x ) d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

N

 

 

 

b

 

k

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x ) d x

 

 

 

 

 

g ( x )

 

d x

 

 

 

u

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

i

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

05.01.2011

10