Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция9_Метод конечных элементов
.pdfТема 9. Метод конечных элементов
Связь метода сеток и метода конечных элементов
Пример решения одномерной задачи
Решение двухмерной задачи на треугольной сетке
05.01.2011 |
1 |
Связь метода сеток (МС) и метода конечных элементов (МКЭ)
МКЭ в настоящее время является одним из наиболее востребованных и универсальных методов решения задач математической физики
МКЭ представляет собой синтез метода сеток и проекционного метода Галеркина с выбором базиса из финитных функций, носители которых (конечные элементы) покрывают каждый узел сетки
МКЭ – это тот же классический метод сеток, в котором конечноразностная схема получается в результате применения проекционной процедуры к базису из финитных функций, привязанных к каждому узлу сетки.
Такой способ получения конечно-разностной схемы позволил избавиться от основного недостатка классического метода сеток – привязки узлов сетки к координатным линиям, что позволило в случае многомерных задач гибко адаптировать сетку к произвольной форме границ и особенностям искомого
05.01решения.2011 |
2 |
Пример решения одномерной задачи
Задача Дирихле
|
|
g ( x ) |
u |
|
q ( x ) |
u |
p ( x )u f x ; |
u ( 0 ) ; |
u ( b ) . |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|||
Выбираем равномерную сетку |
|
|
|
||||||||
|
|
h |
xk |
( k 1)h ; h b / n ; |
k 1 ... N |
n 1 |
|
Решение ищем в виде
N |
|
|
|
|
|
|
||
u N ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
u k k ( x ) |
|
|
|
|
|
|||
u1 , |
u |
|||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
3 |
Базис из финитных функцийкрышек
u(x)
u k k
|
1 |
k |
|
N |
|
|
|
|
x |
|
xk |
xk+1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
k-1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
x x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u N ( x ) u k k |
( x ), k |
11 |
k |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
h |
|
|
||
05.01.2011 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная финитная функциякрышка
1 |
|
1 |
|
1 |
|
d 11 |
|
1 |
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
-1 |
|
|
-1 |
0 |
|
1 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
x |
|
1, |
|
1 |
0 , |
|
x |
1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11 |
( x ) x |
1, |
1 x 0 , |
1 |
|
1, |
1 x 0 , |
||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
0 x 1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
x , |
0 |
x |
1 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
5 |
Функции базиса
|
|
0, |
|
x x k |
h , |
k |
|
( x x k 1 ) / h , |
x k 1 x x k , |
||
|
|||||
|
|
( x k 1 x ) / h , |
|
x k x x k 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x x k |
1, |
|
k |
|
|
1 / h , |
x k 1 x x k , |
||||
|
|
|||||||
x |
||||||||
|
|
1 / h , |
|
x k x x k 1 . |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
6 |
проекционные уравнения
b |
|
|
|
u |
N |
|
|
||||
|
g ( x ) |
|
|||
|
x |
||||
|
|
x |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
N |
|
|
|
b |
|
|
|
p ( x )u N |
|
|
f x ( x ) d x ; |
|||
|
q ( x ) |
|
( x ) d x |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
i |
i |
||
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
.i 1 .. N
N
u N ( x ) u k k ( x )
k 1
Вычислим каждый интеграл по отдельности для i=2..N-1
05.01.2011 |
7 |
Смежные базисные функции
i-1 |
i |
i+1 |
xi-1 |
xi |
xi+1 |
u N ( x ) |
|
|
( x ) ... |
|
|
|
|
( x ) |
|
|
|
|
( x ) |
|
|
|
|
( x ) ... |
|
|
|
|
|
u |
u |
|
i 1 |
u |
i |
u |
|
i 1 |
u |
N |
N |
( x ) |
|||||||||||
1 1 |
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||||||||||
05.01.2011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1) Правая часть
b |
|
xi 1 |
|
f ( xi 1 / 2 ) f ( xi 1 / 2 ) |
|
||
|
f i d x |
|
f i d x f€i h |
|
|||
|
h f ( xi |
) |
|||||
2 |
|||||||
0 |
|
xi 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
9 |
2) Первый член дифференциального оператора
b |
|
|
|
|
u |
N |
|
|
|
|
|
||||
|
g ( x ) |
|
|
|
|||
|
|
x |
|||||
|
|
x |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
g ( x ) |
u k |
||||
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
k 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
( x ) d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
b |
|
k |
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
( x ) d x |
|
|
|
|
|
g ( x ) |
|
d x |
|||||||
|
|
|
u |
k |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
|
i |
|
|
|
|
x |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
10 |