Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Установочная лекция
.pdfКурс Основы информационных технологий
Раздел
Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики
(установочная лекция)
Професcор Синицын
Анатолий Константинович
Кафедра ВМиП (а. 412 – 5к)
05.01.2011 |
1 |
Литература
1.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
2.Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.
3.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
5.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука,
1980.
6.Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
7.Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007
05.01.2011 |
2 |
Метод и его погрешность
•При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи
• A(Y)=b |
Y=F(x) |
•представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
• |
Yh=Mh(x) |
•Mh – метод, h – параметр метода
•При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится
контролируемая параметром h метода погрешность
• |
(h)=Y-Yh |
• |
Получение зависимости погрешности решения (h) от |
|
параметров вычислительного метода является одной из |
|
основных задач вычислительной математики |
05.01.2011 |
3 |
Порядок погрешности метода (продолжение)
•Обычно при уменьшении некоторого параметра h
метода погрешность решения h стремится к нулю, т.е.
• при h 0 |
h 0 |
• В этом случае, если удается получить оценку вида
|
h |
C h p |
|
|
|
• где С - const и |
не зависит от h, считается, что |
|
порядок погрешности равен p и обозначается
коротко
h o ( h p )
05.01.2011 |
4 |
Из математической физики
•Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно
( x , y , z , t ) u ( x , y , z , t )
Операторы дифференцирования:
d iv u , |
v r o tu , |
v , |
2 |
05.01.2011 |
5 |
Операторы дифференцирования
d iv u |
u x |
|
|
u y |
|
|
u z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
g ra d |
|
|
x |
0 |
|
|
|
y 0 |
|
|
|
z |
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|||||||
2 d iv ( ) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
z 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
u n d S d iv u d V |
Теорема Остроградского – |
|
|
Гаусса |
S |
V |
|
05.01.2011 |
6 |
Обыкновенные ДУ
•Система ОДУ первого порядка
d u |
1 |
|
|
f1 ( x , u1 , u 2 , ..., u m ); |
|
|
|
||
• |
|
|
или коротко |
||||||
d x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
.......................................... |
|
d u |
|
||||||
d u |
|
|
|
|
|
f ( x , u ). |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
f m ( x , u1 , u 2 , ..., u m ). |
|
d x |
|||
|
|
|
|
||||||
|
d x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
• Система ОДУ второго порядка
|
|
( g 1 |
u |
1 |
) q1 |
u |
1 |
|
p1u1 f ( x , u 2 , ..., u m , |
u |
2 |
, ..., |
u |
m |
); |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..................................................................................... |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u m |
|
|
u m |
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
u m 1 |
|
|||||
|
( g m |
|
) q m |
p m u m f ( x , u1 , ..., u m 1 , |
, ..., |
). |
||||||||||||||||
x |
|
x |
|
x |
x |
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
05.01.2011 |
u u1 ( x ), ..., u m ( x ) |
a x b |
7 |
Задача Коши
d u |
f ( x , u ). |
u |
|
d x |
|||
|
|
u1 ( a ) u10 ; ... u m ( a ) u m0
u ( a ) u 0 |
u0 |
x
a |
b |
|
05.01.2011 |
8 |
Краевая задача
Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].
Эта задача обычно ставится для ДУ второго порядка
|
( g |
u |
) q |
u |
p u f ( x , u ) |
|
|
|
|||
x |
x |
x |
|||
В общем случае |
|
||||
a |
d u ( a ) |
a u ( a ) a ; |
п р и x a |
||
|
|
||||
|
|
d x |
|
||
b |
|
d u ( b ) |
b u ( b ) b ; |
п р и x b |
|
|
|
||||
|
|
d x |
|
||
u
u |
|
|
x |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
a |
b |
05.01.2011 |
9 |
ДУ в частных производных (ДУЧП)
u |
|
2 u |
|
2 u |
|
2 u |
f |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
- параболические |
||||
t |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 u |
|
2 u |
|
2 u |
|
2 u |
f |
- гиперболические |
|
|
|
|
|
||||||
t 2 |
x 2 |
y 2 |
z 2 |
||||||
|
|
|
|
|
2 u |
|
2 u |
|
2 u |
|
|
- эллиптические |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2 |
y 2 |
z 2 |
|
f |
||||
|
||||||||
05.01.2011 |
10 |