Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция7_Проекционные методы.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

230.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Решение одномерной краевой задачи

• Найти решение

f ;

0 u

1 u

x 0

;

q x

x 1

•Ищем решение в виде

uN (x) 0 (x) ak k (x)

k 1

•

Проекционное уравнение

dx;

i 1... N.

i dx

f idx

•

преобразуем

06/25/19

Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)

• Подставляем uN

	uN		1	1		0 ak k i			1
			1

g		i			g			dx		f idx
g	x	i			g	x	x	dx		f idx
			0	0					0
			0	0					0

•Преобразуем и получаем

•систему основных проекционных уравнений

n	1	k
		k
ak g
ak g		x
k 1		x

	0

	1

dx		f	i
			i
	0

		0		i		uN		1


g					dx g		i	; i 1..N
	x					x
			x					0

•В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций

06/25/19

Задача Дирихле

x 0

; u

x 1

• Выбираем систему базисных функций вида:

0 0

1 0

x, k

sin k x

•

В силу того, что

g u

0; i 1..N

•Получаем проекционное уравнение вида

n		1		k i
				k i
	a	k	g
	a		g	x	x
k 1		0		x	x

	1	f
dx		f
	i
	i
	0

g		0		i
					dx; i 1..N
	x		x

•Или для выбранных функций

	n		1		1
		a	k	g(x)ki 2 cos(k x) cos(i x)dx		f sin(i x) g( 1	0 )i cos(i x)		dx;
		a		g(x)ki 2 cos(k x) cos(i x)dx		f sin(i x) g( 1	0 )i cos(i x)		dx;

	k 1		0		0
i 1..N
				06/25/19				13

Программная реализация задачи Дирихле

•function V2_1;

•Be0=1; be1=0; N=4; M=10;

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);

•d(i) = quad(F1,0,1);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2;

•G(i,k)=quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

• for i=1:M+1 %выдача графика

•xt(i)=(i-1)/M;

•y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i);

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i));

•	end; end;
•	plot(xt,y);
•	return
	06/25/19	14

Задача со свободным левым концом

	u 0u	0 ; u	x 1	1.


• Выбираем базис вида	x	x 0




0 1x, k sin 0.5k (1 x	k (0) sin(0.5k ),		k (1) 0

•Первый член проекционного уравнения используя гр. условие:

g	uN	i	1	g( 0 0uN ) i	g(0)( 0	0 0 (0)) i (0) ak 0 g(0) k (0) i (0)
			1


	x		0		0	k
	x				0

•Проекционное уравнение

0 g(0)

(0) (0)

i dx

f g

x x

k 1

g(0)( 0

0 0 (0)) i (0); i 1..N

06/25/19

Задача со свободным левым концом (продолжение)

•Проекционное ур-е

a 0 g(0)

(0) (0)

i dx

f g

x x

k 1

g(0)( 0 0 0 (0)) i (0); i 1..N

•После подстановки функций базиса:

			0	g(0)sin(0.5 k)sin(0.5 i)
				g(0)sin(0.5 k)sin(0.5 i)
n	a
	a	k	1			2
		k		g( x)ki			cos(0.5k (1 x)) cos(0.5i (1	x))dx
				g( x)ki	4		cos(0.5k (1 x)) cos(0.5i (1	x))dx
k 1					4
			0
1		f sin(0.5i (1 x)) g 10.5i cos(0.5i (1 x)) dx
		f sin(0.5i (1 x)) g 10.5i cos(0.5i (1 x)) dx
0
							g(0) 0 sin(0.5i );	i 1..N

06/25/19

Программная реализация задачи со свободным левым концом

•function V2_2(al0,be0,be1,N,M);

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))-

•	g(x).be1.0.5ipicos(0.5ipi(1-x));

•d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x))

•*i*k*pi^2*0.25;

•G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

•for i=1:M+1

•xt(i)=(i-1)/M;

•y(i)=be1*xt(i);

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i)));

•end; end;

•plot(xt,y,'b');

•return

06/25/19

Задача со свободным правым концом

;

x 0

•

Выбираем базис вида

x 1

0 0 (1 x), k sin 0.5k x

k (0) 0,

k (1) sin(0.5k )

•Первый член проекционного ур-я

g	uN	i	1	g( 1 1uN ) i	1 g(1)( 1 1 0 (1)) i (1) ak 1g(1) k (1) i
			1


	x		0		k
	x

•Проекционное уравнение

n			1				1		k
			1			(1)		g	k
	k			k	i
	a	g(1)			(1)				x
k 1							0		x

	1	f
dx		f
	i
	i
	0

g(1)( 1 1 0 (1)) i (1); i 1..N

g 0 i dx

x x

06/25/19

Задача со свободным правым концом (продолжение)

Проекционное уравнение

n			1				1		k
	a		1			(1)		g	k
		k		k	i
		g(1)			(1)				x
k 1							0		x

	1	f
dx		f
	i
	i
	0

g(1)( 1 1 0 (1)) i (1); i 1..N

g 0 i dx

x x

После подстановки функций базиса

n			1			2
		k			4
	a	1g(1)sin(0.5 k)sin(0.5 i)		g(x)ki			cos(0.5k x) cos(0.5i x)dx

k 1			0
1	f sin(0.5i x) g 0 0.5i cos(0.5i x) dx g(1) 1 sin(0.5 i);
	f sin(0.5i x) g 0 0.5i cos(0.5i x) dx g(1) 1 sin(0.5 i);							i 1..N
0

06/25/19

Программная реализация задачи со свободным правым концом

•function V2_3(al1,be0,be1,N,M);

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)-

•	g(x).be0.0.5ipicos(0.5ipix);

•d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25;

•G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

•for i=1:M+1

•xt(i) =(i-1)/M;

•y(i)=be0*(1- xt(i) );

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i));

•end; end;

•plot(xt,y,'b');

•return

06/25/19

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ВычЭксперим

#
15.06.201412.29 Кб37Лекция5_Решение задачи Коши.ppt
#
15.06.20144.97 Mб31лекция6_Сеток метод ДУЧП.doc
#
15.06.2014529.18 Кб41лекция6_Сеток метод ДУЧП.pdf
#
15.06.2014471.55 Кб38лекция6_Сеток метод ДУЧП.ppt
#
15.06.2014517.99 Кб42Лекция7_Проекционные методы.pdf
#
15.06.2014230.4 Кб47Лекция7_Проекционные методы.ppt
#
15.06.2014446.19 Кб58Лекция8_Финитные функции.pdf
#
15.06.2014555.01 Кб47Лекция8_Финитные функции.ppt
#
15.06.2014408.68 Кб49Лекция9_Метод конечных элементов.pdf
#
15.06.2014476.67 Кб61Лекция9_Метод конечных элементов.ppt
#
15.06.201458.88 Кб33Рис к Л 6.doc