Скачиваний:
40
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
195.07 Кб
Скачать

Тема 4. Теоретические основы метода сеток

Построение сеткиПолучение конечноразностной схемы

Решение системы конечно- разностных уравнений

Погрешность аппроксимацииОценка погрешности решения

06/25/19

1

Суть метода сеток

Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.

Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.

Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле

 

 

u

 

 

 

 

 

 

g(x,u)

f

x,u

; u(0) ;

u(b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

В общем случае

Lu f ;

( ),

 

 

 

 

Г

Г - граница многомерной области , внутри которой необходимо получить

решение. В рассматриваемом частном случае представляет собой отрезок

[0, b]

06/25/19

2

Результат решения по методу сеток

u

Искомое

 

 

u

 

Решение в виде

 

решение

 

 

 

ui

таблицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

b

x

0

xi

b

x

 

06/25/19

 

 

 

 

 

3

Построение сетки

Сетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно»

xixi ,hраспределенных по области .

Множество таких узлов будем обозначать

 

2

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

Одномерный случай

 

 

 

0 x1 x

... x

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг сетки hk

xk 1 xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

Одномерная сетка

 

 

 

 

 

 

 

(i 1)h,

i 1...n 1

 

,

 

 

hx ,hy

 

 

 

 

 

 

x

 

y i 1...n 1,

j 1...m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)h , ( j 1)h

 

 

 

 

 

Двухмерная

 

 

 

(i

 

,

 

 

 

 

 

h ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i

1)h , k ,

 

i 1...n 1,

 

k 0...K

 

 

 

 

 

 

 

при h 0 узлы сетки покрывают все точки , а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами

06/25/19

4

Получение конечноразностной схемы

Решение u(x)

ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной

 

сетки

 

 

 

 

h

 

 

i

i

 

 

 

u

 

 

 

 

u u(x )

дифференциальное уравнение

L u f , заменяется системой

 

алгебраических уравнений, связывающих между собой значения

 

искомой функции в соседних узлах.

 

Такая система алгебраических уравнений называется конечно-

 

разностной схемой

 

 

 

 

 

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

uh

u1 , u2 ,..., un 1

 

 

Lh

 

h

 

 

 

 

 

 

u

fh ,

 

 

• Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

06/25/19

5

Простейший случай

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

ui-1

 

 

 

 

 

 

 

 

ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

x, u

 

;

 

u(0) ;

 

u(b) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui+1

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

ui 1 ui

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

i 1/ 2

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui ui 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi xi+1 b

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

ui 1 ui

 

ui ui 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ui 1 2ui ui 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

i 1/ 2

 

i 1/ 2

 

 

h

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

06/25/19

6

Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы

область =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся подобласти, в центре каждой из которых имеется узел сетки:

 

i xi 1/ 2 , xi 1/ 2 ,

xi 1/ 2

xi

h / 2, xi 1/ 2

xi h / 2,

i 2...n

Проинтегрируем:

xi 1/ 2

 

 

 

 

xi 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

g u

dx

 

f (x) dx;

 

i 2...n.

 

 

 

 

 

 

xi 1/ 2

x

x

 

xi 1/ 2

 

 

 

Обозначим

 

 

xi 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1h x

f (x) dx ;

f (xi );

fh

f2 ,...,

fn

 

 

fi

 

 

 

 

i 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

06/25/19

Xi-1

Xi-1/2

x

X

Xi+1

7

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i+1/2

 

 

Интегроинтерполяционный способ (продолжение)

Преобразуем

1 xi 1/ 2

u

1

 

u

 

 

u

 

 

 

1

 

ui 1 ui

 

 

ui ui 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

dx

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

g

 

 

g

 

 

f

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

;

 

i 1/ 2

 

i 1/ 2

 

h

 

 

 

h x

 

 

x

 

 

 

h

 

h

 

h

 

i

 

x

x

 

xi 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получим

 

g

i 1/ 2

 

 

g

i 1/ 2

g

i 1/ 2

 

 

g

i 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

,

i 2...n.

 

 

u

 

 

 

 

 

 

u

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

i 1

 

 

h

2

i 1

 

 

 

h

 

 

i

 

 

h

2

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aiui 1 biui

ciui 1

 

 

 

,

 

i 2...n.

• переобозначим

 

 

 

fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1 ,

u

n 1 ,

 

 

06/25/19

8

Решение системы конечно-разностных уравнений

Стандартная система с трехдиагональной матрицей:

b

c

0

0 ...

0

0

1

1

 

 

 

 

 

b2

c2

0 ...

0

0

a2

0

a3

b3

c3 ...

0

0

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ... ... ...

0

0

0

0 ...

a

b

0

 

 

 

n

n

0

0

0 ...

0

a

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

0

0

0

...

cn bn1

u1 u

2u3

...

unun1

d1d2d3

...

dndn1

n1 n 1; b1 1; c1 0; d1 ; an1 0; bn1 1; dn1 ;

ai gi 1/ 2 ; ci gi 1/ 2

; b

a

c ;

d

 

h2

 

;

i 2...n.

i

f

06/25/19

i

i

i

 

 

i

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

идея метода прогонки

Прямым ходом метода Гаусса приводим систему к виду

1

 

0

0

...

0

0

 

1

 

 

 

 

 

 

1

2

0

...

0

0

0

0

0

1

3

...

0

0

 

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ... ... ...

 

0

0

0

...

0

1

0

0

0

0

0

...

0

0

0

0

0

...

n

1

u1u2u3

...

unun1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

Ввиду того что матрица ленточная, формулы преобразования просты и эффективны при вычислениях

06/25/19

10