- •Тема 4. Теоретические основы метода сеток
- •Суть метода сеток
- •Результат решения по методу сеток
- •Построение сетки
- •Получение конечноразностной схемы
- •Простейший случай
- •Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы
- •Интегроинтерполяционный способ (продолжение)
- •Решение системы конечно-разностных уравнений
- •идея метода прогонки
- •Метод прогонки
- •Реализация метода прогонки
- •Погрешность аппроксимации
- •Нахождение и оценка погрешности аппроксимации
- •Оценка погрешности аппроксимации
- •Оценка погрешности решения Понятие устойчивости
- •Конец темы 4
Тема 4. Теоретические основы метода сеток
Построение сеткиПолучение конечноразностной схемы
Решение системы конечно- разностных уравнений
Погрешность аппроксимацииОценка погрешности решения
06/25/19 |
1 |
Суть метода сеток
•Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.
•Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
•Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
g(x,u) |
f |
x,u |
; u(0) ; |
u(b) . |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
x |
|
|
|
|
|
• |
В общем случае |
Lu f ; |
uГ ( ), |
|
|||
|
|
|
Г |
•Г - граница многомерной области , внутри которой необходимо получить
решение. В рассматриваемом частном случае представляет собой отрезок
[0, b]
06/25/19 |
2 |
Результат решения по методу сеток
u |
Искомое |
|
|
u |
|
Решение в виде |
|
|
решение |
|
|
|
ui |
таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b |
x |
0 |
xi |
b |
x |
|
06/25/19 |
|
|
|
|
|
3 |
Построение сетки
•Сетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно»
xixi ,hраспределенных по области .
• |
Множество таких узлов будем обозначать |
|
2 |
n 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||||
• |
Одномерный случай |
|
|
|
0 x1 x |
... x |
b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
Шаг сетки hk |
xk 1 xk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||
• |
Одномерная сетка |
|
|
|
|
|
|
|
(i 1)h, |
i 1...n 1 |
|
, |
||||||
• |
|
|
hx ,hy |
|
|
|
|
|
|
x |
|
y i 1...n 1, |
j 1...m 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)h , ( j 1)h |
|
|
|
|
||||
|
Двухмерная |
|
|
|
(i |
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
h , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(i |
1)h , k , |
|
i 1...n 1, |
|
k 0...K |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
•при h 0 узлы сетки покрывают все точки , а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами
06/25/19 |
4 |
Получение конечноразностной схемы
• |
Решение u(x) |
ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной |
|||||||||
|
сетки |
|
|
|
|
h |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u u(x ) |
|||
• |
дифференциальное уравнение |
L u f , заменяется системой |
|||||||||
|
алгебраических уравнений, связывающих между собой значения |
||||||||||
|
искомой функции в соседних узлах. |
|
|||||||||
• |
Такая система алгебраических уравнений называется конечно- |
||||||||||
|
разностной схемой |
|
|
|
|
|
|
||||
• |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
uh |
u1 , u2 ,..., un 1 |
|
|
Lh |
|
h |
|
|
|
|
|||
|
|
u |
fh , |
|
|
• Имеется много способов получения конечно-разностной схемы
06/25/19 |
5 |
Простейший случай
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
ui-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
x, u |
|
; |
|
u(0) ; |
|
u(b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
ui 1 ui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ui ui 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi xi+1 b |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
ui 1 ui |
|
ui ui 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui 1 2ui ui 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
i 1/ 2 |
|
i 1/ 2 |
|
|
h |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
fi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
06/25/19 |
6 |
Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы
•область =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся подобласти, в центре каждой из которых имеется узел сетки:
|
i xi 1/ 2 , xi 1/ 2 , |
xi 1/ 2 |
xi |
h / 2, xi 1/ 2 |
xi h / 2, |
i 2...n |
|||||||
• |
Проинтегрируем: |
xi 1/ 2 |
|
|
|
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
g u |
dx |
|
f (x) dx; |
|
i 2...n. |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
xi 1/ 2 |
x |
x |
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
||||
• |
Обозначим |
|
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1h x |
f (x) dx ; |
f (xi ); |
fh |
f2 ,..., |
fn |
|||||
|
|
fi |
|||||||||||
|
|
|
|
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
06/25/19 |
Xi-1 |
Xi-1/2 |
x |
X |
Xi+1 |
7 |
|
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
i+1/2 |
|
|
Интегроинтерполяционный способ (продолжение)
•Преобразуем
1 xi 1/ 2 |
u |
1 |
|
u |
|
|
u |
|
|
|
1 |
|
ui 1 ui |
|
|
ui ui 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
g |
dx |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
|
g |
|
|
f |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
; |
|
i 1/ 2 |
|
i 1/ 2 |
|
|||||||||
h |
|
|
|
h x |
|
|
x |
|
|
|
h |
|
h |
|
h |
|
i |
|
||||||
x |
x |
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Окончательно получим
|
g |
i 1/ 2 |
|
|
g |
i 1/ 2 |
g |
i 1/ 2 |
|
|
g |
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
, |
i 2...n. |
|||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i 1 |
||||||||||||||||
|
|
h |
2 |
i 1 |
|
|
|
h |
|
|
i |
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
aiui 1 biui |
ciui 1 |
|
|
|
, |
|
i 2...n. |
|||||||||||||||||||
• переобозначим |
|
|
|
fi |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 , |
u |
n 1 , |
|
|
06/25/19 |
8 |
Решение системы конечно-разностных уравнений
•Стандартная система с трехдиагональной матрицей:
b |
c |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
b2 |
c2 |
0 ... |
0 |
0 |
a2 |
|||||
0 |
a3 |
b3 |
c3 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... ... |
|||||
0 |
0 |
0 |
0 ... |
a |
b |
0 |
|
|
|
n |
n |
0 |
0 |
0 ... |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
0
0
0
...
cn bn1
u1 u
2u3
...
unun1
d1d2d3
...
dndn1
n1 n 1; b1 1; c1 0; d1 ; an1 0; bn1 1; dn1 ;
ai gi 1/ 2 ; ci gi 1/ 2 |
; b |
a |
c ; |
d |
|
h2 |
|
; |
i 2...n. |
i |
f |
||||||||
06/25/19 |
i |
i |
i |
|
|
i |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
идея метода прогонки
•Прямым ходом метода Гаусса приводим систему к виду
1 |
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
... |
0 |
0 |
0 |
||||||
0 |
0 |
1 |
3 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... ... |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
0 |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
0
0
0
...
n
1
u1u2u3
...
unun1
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... |
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
•Ввиду того что матрица ленточная, формулы преобразования просты и эффективны при вычислениях
06/25/19 |
10 |