Тема 2.
Уравнения математической физики
Поля физических величинМатематическая модель поляПрямая полевая задачаОбратная полевая задача
06/25/19 |
1 |
Поля физических величин
Любое физическое явление или процесс представляет собой распределение и изменение каких-либо физических величин (скалярных, векторных, тензорных) в некоторой области пространства и во времени.
Распределение некоторой величины в пространстве и во времени получило название поле.
Такие поля окружают нас -температурное поле, электромагнитное поле, поле скоростей, поле вероятности.
Основной задачей теоретической физики, а так же многих технических приложений является исследование полей физических величин, (полевые задачи).
Для их исследования разработано огромное программное обеспечение.
06/25/19 |
2 |
Математическая модель поля
•Математической моделью поля является функция нескольких
переменных, обычно F ( x, y, z, t)
T(x, y, z), E (x, y, z,t), H (x, y, z,t), V (x, y, z,t), (x, y, z,t), 
ij (x, y, z) 
•Поля бывают
скалярные
векторные
Тензорные (т.е.описывается несколькими векторами).
стационарные
Нестационарные
При исследовании полей выделяют две задачи – прямую и обратную
06/25/19 |
3 |
Прямая полевая задача
Задано поле F ( x, y, z, t) ; требуется установить характер этого поля, например быстроту его изменения от точки к точке.
Математическая теория поля занимается изучением дифференциальных и интегральных свойств различных полей.
Здесь для векторной |
u ux x0 uy y0 uz z0 |
|
|
и скалярной |
(x, y, z) |
функций введены операторы дифференцирования:
r |
, |
r |
r |
r |
, |
2 |
divu |
v |
rotu |
, v |
|
06/25/19 |
4 |
Линии уровня и градиент скалярной функции (x,y)=0.75x2+y2 
06/25/19 |
5 |
Градиент скалярной функции
grad |
r |
|
r |
|
r |
x x0 |
y y0 |
z z0 |
•Характеризует направление наибольшего возрастания функции в каждой точке поля.
06/25/19 |
6 |
Векторное поле u ux ( x, y)x0 uy ( x, y) y0
y
y0
x0
x
06/25/19 |
7 |
Дивергенция векторного поля
|
r |
ux |
|
uy |
uz |
|
|
divu |
x |
|
|
z |
|
|
y |
|
||||
• |
Характеризует распределение в пространстве |
|
||||
|
источников векторного поля |
E( x, y) |
||||
• |
Например, источниками электрического поля |
|||||
|
являются заряды, положительные или |
|
||||
|
отрицательные. |
|
|
|||
• |
В этом случае |
divE ( x, y) дает |
|
|||
распределение зарядов.
06/25/19 |
8 |
Ротор векторного поля
r |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
uz |
|
|
y |
|
ux |
||||||||
|
uz |
|
|
r |
|
ux |
|
r |
|
|
|
|
||||||||
rot u |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
y |
|
z |
0 |
|
|
x |
0 |
|
|
|
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Характеризует завихрения векторного поля.
•Например известно, что при течении тока вокруг него образуется вихревое магнитное поле. Так вот, если мы знаем распределение магнитного поля B( x, y)
•тогда ротор от него rotB ( x, y) дает распределение токов.
06/25/19 |
9 |
Лапласиан от скалярного поля
2 div ( ) |
2 |
|
2 |
|
2 |
x2 |
y2 |
z2 |
•Характеризует распределение источников скалярного поля
•Например имеется распределение температуры вдоль плоской пластины T(x,y).
•Градиент температуры указывает направление максимального
распространения тепла в данной точке q T ( x, y)
• |
Тогда div( T ) 2T qv ( x, y) |
|
• |
дает распределение мощности источников тепла |
qv ( x, y) |
• |
Зная распределение источников можно получить распределение |
|
температуры из уравнения: |
|
2 |
T |
|
2 |
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
( x, y) |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
q |
||||
06/25/19 |
|
|
|
y |
|
v |
10 |
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||