Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция4_МетодСеток

Тема 4. Теоретические основы метода сеток

Построение сетки Получение конечноразностной схемы

Решение системы конечноразностных уравнений

Погрешность аппроксимации Оценка погрешности решения

Суть метода сеток

•Суть метода сеток в том, что решение ДУ получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в узлах сетки, покрывающей область определения решения.

•Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.

•Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле

•Г - граница многомерной области , внутри которой необходимо получить

решение. В рассматриваемом частном случае представляет собой отрезок

[ 0 , b ]

Результат решения по методу сеток

Построение сетки

•Сетка представляет собой набор узлов (точек), «равномерно»

•при h 0 узлы сетки покрывают все точки , а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами

Получение конечноразностной схемы

• Решение u(x) ищется в виде таблицы значений в узлах

выбранной сетки

u h u i u ( xi )

• дифференциальное уравнение L u f , заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах.

•Такая система алгебраических уравнений называется конечноразностной схемой

•Обозначим

, u h u1 , u 2 , ..., u n 1f hLh u h

• Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

Простейший случай

u

Интегроинтерполяционный способ получения конечно-разностной схемы

•область =[0,b] разобьем на элементарные непересекающиеся подобласти, в центре каждой из которых имеется узел сетки:

Интегроинтерполяционный способ (продолжение)

•Преобразуем

•Окончательно получим

Решение системы конечно-разностных уравнений

• Стандартная система с трехдиагональной матрицей:

n1 n 1; b1 1; c1 0; d 1 ; a n 1 0; bn 1 1; d n 1 ;

идея метода прогонки

• Прямым ходом метода Гаусса приводим систему к виду

•Ввиду того что матрица ленточная, формулы преобразования просты и эффективны при вычислениях