Презентации и конспект лекции Синицын / Презентации_ВЭиМОвТС / ВычЭксперим / Лекция2_УравненияМатфизики
.pdfТема 2.
Уравнения математической физики
Поля физических величин Математическая модель поля Прямая полевая задача Обратная полевая задача
05.01.2011 |
1 |
Поля физических величин
Любое физическое явление или процесс представляет собой распределение и изменение каких-либо физических величин (скалярных, векторных, тензорных) в некоторой области пространства и во времени.
Распределение некоторой величины в пространстве и во времени получило название поле.
Такие поля окружают нас -температурное поле, электромагнитное поле, поле скоростей, поле вероятности.
Основной задачей теоретической физики, а так же многих технических приложений является исследование полей физических величин, (полевые задачи).
Для их исследования разработано огромное программное обеспечение.
05.01.2011 |
2 |
Математическая модель поля
• Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно F ( x , y , z , t )
T ( x , y , z ), E ( x , y , z , t ), H ( x , y , z , t ), V ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ), 
ij ( x , y , z ) 
• Поля бывают
скалярные
векторные
Тензорные (т.е.описывается несколькими векторами).
стационарные
Нестационарные
При исследовании полей выделяют две задачи – прямую и обратную
05.01.2011 |
3 |
Прямая полевая задача
Задано поле F ( x , y , z , t ) ; требуется установить характер этого поля, например быстроту его изменения от точки к точке.
Математическая теория поля занимается изучением дифференциальных и интегральных свойств различных полей.
Здесь для векторной |
u u x x0 u y y0 |
u z z0 |
|
|
и скалярной |
( x , y , z ) |
|
|
|
|
|
функций введены операторы дифференцирования:
d ivu , |
v ro tu , |
v , |
2 |
05.01.2011 |
4 |
Линии уровня и градиент скалярной функции (x,y)=0.75x2+y2
05.01.2011 |
5 |
Градиент скалярной функции
g ra d |
|
x |
0 |
|
y |
0 |
|
z |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|||
•Характеризует направление наибольшего возрастания функции в каждой точке поля.
05.01.2011 |
6 |
Векторное поле u u x ( x , y ) x0 u y ( x , y ) y 0
y
y0
x0
x
7
Дивергенция векторного поля
d iv u |
u x |
|
u y |
|
u z |
|
x |
y |
z |
||||
|
|
|
•Характеризует распределение в пространстве источников векторного поля
•Например, источниками электрического поля E ( x , y ) являются заряды, положительные или
отрицательные.
• В этом случае divE ( x , y ) дает распределение зарядов.
05.01.2011 |
8 |
Ротор векторного поля
|
u z |
|
u |
y |
|
|
|
u x |
|
u z |
|
|
ro t u |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
||||
y |
z |
0 |
z |
x |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
y |
|
u x |
|
|
|
|
|
z |
|
||
x |
y |
0 |
||||
|
|
|
|
|||
•Характеризует завихрения векторного поля.
•Например известно, что при течении тока вокруг него образуется вихревое магнитное поле. Так вот, если мы знаем распределение магнитного поля B ( x , y )
• тогда ротор от него rotB ( x , y ) дает распределение токов.
05.01.2011 |
9 |
Лапласиан от скалярного поля
|
2 |
d iv ( ) |
2 |
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•Характеризует распределение источников скалярного поля
•Например имеется распределение температуры вдоль плоской пластины T(x,y).
•Градиент температуры указывает направление максимального
|
распространения тепла в данной точке q T ( x , y ) |
• |
Тогда d iv ( T ) 2 T qv ( x , y ) |
• |
дает распределение мощности источников тепла q v ( x , y ) |
•Зная распределение источников можно получить распределение температуры из уравнения:
|
|
2 T |
|
2 T |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
05.01.2011 |
x |
2 |
|
y |
2 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qv |
( x , y ) |
|
||
|
|
10 |
|
|