Метод прогонки
• 1) прямой ход
1 c1 / b1; 1 d1 / b1;
•для i 2...n1
|
i ci / bi ai i 1 ; |
i di ai i 1 / bi ai i 1 ; |
|||||
• |
2) обратный ход |
un1 n1 |
|||||
|
|
||||||
• |
для i от N до 1 вычисляем |
ui iui 1 i . |
|||||
|
|
|
|
|
|||
• Условие устойчивости |
|
bi |
|
|
|
ai |
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
06/25/19 |
|
|
|
|
|
|
11 |
||||
Реализация метода прогонки
•c(1)=…; b(1)=…; d(1)=…;
•for i=2:N
•a(i)=
•b(i)=
•c(i)=
•d(i)= …
•end
•ks(1)=-c(1)/b(1); et(1)=d(1)/b(1);
•for i=2:N1
•z=b(i)+a(i)*ks(i-1);
•ks(i)=-c(i)/z; et(i)=(d(i)-a(i)*et(i-1))/z;
•end;
•u(N1)=be1;
•For i=N:-1:1
•u(i)=ks(i)*u(i+1)+et(i);
•End;
•Plot(x,u1);
06/25/19 |
12 |
Погрешность аппроксимации
•При замене дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений вносится так называемая погрешность аппроксимации
конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
точного решения uh. h h h uh
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввиду того, что uh uh |
, после такой подстановки получается невязка |
|||||||||||||
|
||||||||||||||
• |
Погрешность аппроксимации |
|
|
h Lhuh fh 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
Основное требование: при |
h 0 |
h 0 |
|||||||||||
• |
Ассимптотическая оценка |
|
|
|
|
h |
|
|
|
C h p |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Порядок погрешности аппроксимации = p
06/25/19 |
13 |
Нахождение и оценка погрешности аппроксимации
Рассмотрим нашу простейшую конечноразностную схему
1 |
u |
i |
h |
|
u |
i |
|
u |
i |
u |
|
i |
h |
|
f ( x ) |
|||
|
|
x |
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используем начальные члены разложения в ряд Тейлора:
u xi h ; |
ui hui h2 |
ui h3 u h4 |
u(4) |
o(h5 ) |
|
|
2 |
3! |
4! |
|
|
u xi h ; |
ui hui h2 |
ui h3 u h4 |
u(4) |
o(h5 ) |
|
|
2 |
3! |
4! |
|
|
После подстановки получаем:
06/25/19 |
14 |
Оценка погрешности аппроксимации
|
|
2 |
|
4 |
|
(4) |
( xi ) f ( x ) |
|
|
h |
h |
u ( xi ) h |
|
/ 4!u |
|
||
|
|
h2 |
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
u ( xi ) f ( xi ) h2 / 4!u(4) ( xi ) h2 / 4!u(4) ( xi ). |
||||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате имеем: |
h h2 u(4) ( xi ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
2 |
|
Ch h |
2 |
|
|
|
|
h o(hили) |
|
|
|||
06/25/19 |
15 |
Оценка погрешности решения Понятие устойчивости
• |
Погрешность решения : |
h uh |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
• |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для сходимости к точному решению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при h 0 |
||||||||||||||||
• |
кроме |
h |
0 |
необходима |
|
|
h |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
• |
устойчивость к ошибкам округления |
|
|
u |
h |
u% |
|
|
|
C |
|
f |
h |
f% |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
|
|
h |
|
|
|
||||||
• |
Lhuh |
fh |
|
Основная теорема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L u |
f |
|
|
|
h |
|
C0 |
|
h |
|
C0C h |
p |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
h h |
h |
|
h h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Lh (uh uh ) Lh h h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
06/25/19 |
16 |
Конец темы 4
• Ваши вопросы
06/25/19 |
17 |