Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Лекция7_Проекционные методы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

517.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Решение одномерной краевой задачи

•

Найти решение

f ;

q 0

0 u

0 ;

q 1

1 .

x 0

x 1

• Ищем решение в виде

u N ( x ) 0 ( x ) a k k ( x )

k 1

•

Проекционное уравнение

i d x

f i d x ;

i 1 ... N .

u N

• преобразуем

d x

f i d x

05.01.2011

Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)

• Подставляем uN

	u N		1	1	0 a k	k			1


g		i		g				i	d x f i d x
	x				x		x
			0	0					0

•Преобразуем и получаем

•систему основных проекционных уравнений

d x g

d x

; i 1 .. N

k 1

•В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций

05.01.2011

Задача Дирихле	u	x 0	0	;
			0

• Выбираем систему базисных функций вида:

0 0 1 0 x ,

k sin k x

• В силу того, что

0; i 1 ..N

• Получаем проекционное уравнение вида

d x ;

d x

x x

k 1

u	x 1	1 .

i 1 ..N

• Или для выбранных функций

	n			1		1	f sin ( i x ) g ( 1	0 )i c o s( i x ) d x ;
				1		1

		a			g ( x ) k i 2 c o s( k x ) c o s( i x ) d x
			k
	k 1		0			0
i 1 .. N
05.01.2011								13

Программная реализация задачи Дирихле

•function V2_1;

•Be0=1; be1=0; N=4; M=10;

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);

•d(i) = quad(F1,0,1);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2;

•G(i,k)=quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

• for i=1:M+1 %выдача графика

•xt(i)=(i-1)/M;

•y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i);

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i));

•end; end;

•plot(xt,y);

•return

05.01.2011

Задача со свободным левым концом

u	0 u	0 ; u	1 .


x		x 0	x 1

•Выбираем базис вида

0	1 x ,	k	s in 0 .5 k (1 x		k	(0 ) sin (0 .5k ),		k	(1) 0
					k			k

•Первый член проекционного уравнения используя гр. условие:

	u N		1	g ( 0 )( 0 0 0 ( 0 )) i ( 0 ) a k 0 g ( 0 ) k ( 0 ) i ( 0 )
			1
g		i	g ( 0 0 u N ) i

	x
	x			0
				0
			0	k
			0

•Проекционное уравнение

d x

0 g ( 0 )

( 0 )

d x

k 1

g ( 0 )( 0 0

( 0 ))

( 0 ); i 1 .. N

05.01.2011

Задача со свободным левым концом (продолжение)

•Проекционное ур-е

d x

0 g ( 0 )

( 0 )

d x

k 1

g ( 0 )( 0 0

( 0 ))

( 0 ); i 1 .. N

•После подстановки функций базиса:

	0 g ( 0 ) s in ( 0 .5 k ) s in ( 0 .5 i )
n
a k		1	2
		1
k 1		g ( x ) k i		c o s ( 0 .5 k (1 x )) c o s ( 0 .5i (1 x )) d x
k 1		g ( x ) k i	4	c o s ( 0 .5 k (1 x )) c o s ( 0 .5i (1 x )) d x
		0	4
		0
1
f s in ( 0 .5i (1 x )) g 1 0 .5i c o s ( 0 .5i (1 x )) d x
0
				g ( 0 ) 0 s in ( 0 .5i );	i 1 .. N

05.01.2011

Программная реализация задачи со свободным левым концом

•function V2_2(al0,be0,be1,N,M);

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))-

•	g(x).be1.0.5ipicos(0.5ipi(1-x));

•d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x))

•*i*k*pi^2*0.25;

•G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

•for i=1:M+1

•xt(i)=(i-1)/M;

•y(i)=be1*xt(i);

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i)));

•end; end;

•plot(xt,y,'b');

•return

05.01.2011

Задача со свободным правым концом

0 ;

1 .

x 0

x 1

•

Выбираем базис вида

0 (1 x ), k s in

0 .5 k x

k (0) 0,

(1) sin (0.5 k )

• Первый член проекционного ур-я

u N

1 g (1)( 1

a k 1 g (1) k

g ( 1 1u N

1 0 (1)) i (1)

) i

(1) i

•

Проекционное уравнение

d x

1 g (1)

(1)

d x

k 1

g (1)( 1

1 0

(1)) i (1); i

1 .. N

05.01.2011

Задача со свободным правым концом (продолжение)

Проекционное уравнение

d x

1 g (1)

(1)

d x

k 1

g (1)( 1

1 0

(1)) i

(1); i 1 .. N

После подстановки функций базиса

n			1			2
			1
	a	1 g (1) s in ( 0 .5 k ) s in ( 0 .5 i )		g ( x ) k i			c o s ( 0 .5 k x ) c o s ( 0 .5 i x ) d x
	a	1 g (1) s in ( 0 .5 k ) s in ( 0 .5 i )		g ( x ) k i			c o s ( 0 .5 k x ) c o s ( 0 .5 i x ) d x
		k			4
k 1			0		4
k 1			0
1
f		s in ( 0 .5i x ) g 0 0 .5i c o s ( 0 .5 i x ) d x g (1) 1 s in ( 0 .5 i);						i 1 .. N
0

05.01.2011

Программная реализация задачи со свободным правым концом

•function V2_3(al1,be0,be1,N,M);

•for i=1:N

•F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)-

•	g(x).be0.0.5ipicos(0.5ipix);

•d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi);

•for k=1:N

•F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25;

•G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);

•end; end

•a=d/G;

•a

•for i=1:M+1

•xt(i) =(i-1)/M;

•y(i)=be0*(1- xt(i) );

•for k=1:N

•y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i));

•end; end;

•plot(xt,y,'b');

•return

05.01.2011

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ВычЭксперим

#
15.06.2014195.07 Кб43Лекция4_МетодСеток.ppt
#
15.06.201412.29 Кб37Лекция5_Решение задачи Коши.ppt
#
15.06.20144.97 Mб31лекция6_Сеток метод ДУЧП.doc
#
15.06.2014529.18 Кб42лекция6_Сеток метод ДУЧП.pdf
#
15.06.2014471.55 Кб38лекция6_Сеток метод ДУЧП.ppt
#
15.06.2014517.99 Кб42Лекция7_Проекционные методы.pdf
#
15.06.2014230.4 Кб47Лекция7_Проекционные методы.ppt
#
15.06.2014446.19 Кб58Лекция8_Финитные функции.pdf
#
15.06.2014555.01 Кб47Лекция8_Финитные функции.ppt
#
15.06.2014408.68 Кб49Лекция9_Метод конечных элементов.pdf
#
15.06.2014476.67 Кб61Лекция9_Метод конечных элементов.ppt