1.11 Затухаючі коливання. Диференціальне рівняння затухаючих коливань та його розв’язок

Розглянемо механічну коливальну систему, наприклад, пружинний маятник, в якій діють сили тертя, пропорційні, як відомо, швидкості , де

r – коефіцієнт опору.

Систему виводять із положення рівноваги і залишають саму собі. Виникають власні коливання. Така система дисипативна. Повна механічна енергія системи зменшується з часом, перетворюючись у немеханічні види енергії (в теплову). Амплітуда коливань зменшується. Виникають затухаючі механічні коливання, які через деякий час припиняються. Одержимо диференціальне рівняння таких затухаючих власних коливань.

Запишемо другий закон Ньютона

В реальному коливальному контурі завжди є актив ний опір – це опір дроту контура. У відповідності із законом Джоуля-Ленца на ньому виділяється тепло, тобто енергія контура перетворюється в теплову. У контурі виникають затухаючі власні коливання. Запишемо другий закон Кірхгофа

, або

.

Одержуємо

, - сила пружності. Одержуємо

, або

. (1.52)

Тут - коефіцієнт зату-

хання.

(1.53).

Тут - коефіцієнт затухання.

Диференціальне рівняння (1.52) затухаючих механічних власних коливань ідентичне диференціальному рівнянню (1.53) власних електричних затухаючих коливань. Тому знайдемо розв’язок одного із них, наприклад, (1.53).

Характеристичне рівняння має вид (див. розділ1.2) , а його розв’язок згідно з (1.11)

Корені характеристичного рівняння в залежності від співвідношення між β і ω_о можуть бути комплексними при і дійсними при .

У першому випадку, коли , виникають затухаючі коливання. Частота цих власних коливань менша, ніж частота ω_о незатухаючих коливань. Корені характеристичного рівняння набудуть виду , а заряд конденсатора буде змінюватись за законом

. (1.54)

Виникають затухаючі коливання, амплітуда яких зменшується з часом за експоненціальним законом (рис.1.18).

У випадку, коли втрата енергії настільки велика, що вона розсіюється за якусь долю періоду і коливання не виникають. Система релаксує до стану рівноваги аперіодично (рис.1.19). Критерієм переходу до аперіодичного процесу релаксації є рівняння . . При R < R_k виникають затухаючі коливання, при R > R_k аперіодичний процес релаксації.

1.12 Характеристики затухаючих коливань та їх фізичний зміст

1) Коефіцієнт затухання для механічних коливань і для електричних коливань. Коефіцієнт опору r аналогічний електричному опору R.

2) Час релаксації τ – це час, за який амплітуда коливань зменшується в е раз. В момент часу t амплітуда , а в момент часу

. За означенням часу релаксації відношення цих амплітуд дорівнює е = 2,7, тобто

. Одержали , або . Час релаксації обернений коефіцієнту затухання.

3) Циклічна частота затухаючих коливань менша, ніж власних незатухаючих . Для механічних коливань , а для електричних .

4) Період затухаючих коливань більший, ніж власних незатухаючих .

При . Коливання не виникають, а відбувається аперіодичний процес релаксації.

5) Декремент затухання D – це відношення амплітуд через період

.

6) Логарифмічний Декремент затухання λ – це натуральний логарифм із декремента затухання . Він дорівнює оберненому числу коливань за час релаксації, тобто обернений числу коливань, за які амплітуда зменшується в е раз.

7) Добротність . З’ясуємо фізичний зміст добротності. Для цього знайдемо відношення енергії системи в якийсь момент часу до енергії, яка втрачається системою за період (за одне коливання). Так як енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди, маємо

Розкладемо в степеневий ряд, скориставшись розкладанням експоненти . При малих λ, тобто при слабкому затуханні можна обмежитись двома першими членами ряду, так як решта набагато менші. Одержимо . Отже . Таким чином, добротність

характеризує втрату енергії при затухаючих коливаннях і дорівнює добутку 2π на відношення енергії системи до втрати енергії за період.

Знайдемо добротність коливального контура

. При слабкому затуханні ,

тому . (1.55)

При R = 0 коливання незатухаючі і Q = ∞.