5.2 Розподіл енергії в спектрі абсолютно чорного тіла. Формули Віна, Релея-Джинса, Планка

Прийнявши до уваги закон Кірхгофа (розд. 5.1), для вивчення випромінювання різних тіл необхідно знати коефіцієнт поглинання та випромінювання абсолютно чорного тіла і, перш за все його, спектральну густину випромінювання .

У 1893 р. німецький фізик В.Він (1864-1928) з термодинамічної точки зору рівноважного теплового випромінювання одержав розподіл енергії в спектрі абсолютно чорного тіла. Формула Віна Має вид , (5.5)

а і b – константи.

У 1900 р. англ.. фізики У.Релей і А.Джинс (1877-1946) на основі класичних уявлень про випромінювання, а саме: неперервний характер випромінювання та рівномірний розподіл енергії по степеням вільності (див. Ч.1, розд.6.16), також одержали формулу розподілу енергії у спектрі абсолютно чорного тіла

. (5.6)

Але ні один із цих законів на узгоджувався з експериментальною кривою в усьому діапазоні довжин хвиль (рис.5.6). Формула Віна (5.5) давала хороше узгодження в області коротких довжин хвиль, а формула Релея-Джинса (5.6) – в області великих довжин хвиль. Більш того, формула (5.6) взагалі давала абсурдний результат в області коротких хвиль: при зменшенні довжини хвилі (в ультрафіолетовій області) спектральна густина випромінювання, а разом з нею і інтегральна густина, зростали до нескінченності, що з енергетичної точки зору неможливо. Це протиріччя одержало у фізиці назву „ультрафіолетової катастрофи”.

Для усунення цих недоліків у 1900 р. нім. фізик М.Планк (1858-1947) висунув гіпотезу про дискретний (квантовий) характер випромінювання: випромінювання, поширення і поглинання відбувається певними порціями, квантами. Енергію кванта випромінювання з частотою ν, або довжиною хвилі λ дає вираз

, (5.7)

де: - стала Планка, с – швидкість світла.

Одержана Планком формула

(5.8)

повністю співпадає із експериментальною кривою розподілу енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла (рис.5.6), а граничні переходи дають формули (5.5) і (5,6). Дійсно, при малих λ одиницею у знаменнику можна знехтувати, що приводить до формули Віна

.

При великих λ . Розкладаємо експоненту в ряд, обмежившись двома першими членами, . Одержуємо якісно формулу Релея-Джинса .

5.3 Закони випромінювання абсолютно чорного тіла. Закон Стефана-Больцмана, закон Віна

Знайдемо інтегральну густину випромінювання абсолютно чорного тіла. Для цього у формулу (5.2) замість підставимо (5.8) формулу Планка

.

Виконаємо заміну аргументу та меж інтегрування Одержуємо

Тут використаний табличний інтеграл .

Одержали закон Стефана-Больцмана: інтегральна густина випромінювання абсолютно чорного тіла пропорційна четвертій степені абсолютної температури

. (5.9)

- стала Стефана-Больцмана.

Цей закон експериментально встановив у 1879 р. австрійський фізик Й.Стефан (1835-1893), а теоретично у 1894 р. Л.Больцман (1844-1906).

У1894 р. В.Він експериментально знайшов, що довжина хвилі , при якій спектральна густина випромінювання абсолютно чорного тіла максимальна, обернена абсолютній температурі

. (5.10)

Одержимо цей закон із формули Планка. Для цього необхідно дослідити функцію (5.8) на екстремум. Беремо похідну по λ і прирівнюємо нулю.

Знову позначимо ю Одержуємо трансцендентне рівняння

, яке моє тривіальний корінь х_m = 0 і ще один корінь в інтервалі від 4 до 5. В останньому легко впевнитись, так як ліва частина рівняння на цьому інтервалі змінює знак. Розв’язок рівняння числовим методом дає х_m = 4,965. Таким чином, одержуємо закон Віна. Він показує, що при збільшенні температури максимум спектральної густини випромінювання зміщується в сторону коротких довжин хвиль (рис.5.7). Тому закон Віна називають законом зміщення. При збільшенні температури зростає і інтегральна густина випромінювання (див.5.9). Тому площа під кривою 1 більш, ніж під кривою 2.