0. 4.3 Наслідки перетворення координат Лорентца

1. Очевидно, що координати і час на можуть бути уявними. Тому , або . Швидкість світла є максимально можлива швидкість у природі.

2. Скорочення геометричних розмірів. Нехай в системі К¹ вздовж осі абсцис лежить стержень (рис.4.6). Його довжина у цій системі, відносно якої він не рухається,

, (4.11)

а в системі К, відносно якої стержень разом із системою К¹ рухається із швидкістю υ,

. (4.12)

В (4.11) перейдемо від системи К¹ до К, скориставшись (4.9)

, або

. (4.13)

Видно, що , тобто геометричний розмір тіл в системах, відносно яких тіла рухаються, менші, ніж в системах, в яких тіла знаходяться у стані спокою. А ц і означає скорочення геометричного розміру. Цікаво відмітити, що ні візуально, ні фотографією ми таке скорочення не зафіксуємо. Це пояснюється тим, що ми фіксуємо промені, які приходять до приймача одночасно, але випромінені від різних точок тіла вони були неодночасно. Адже променям потрібно пройти різну відстань. Але формула (4.13) була підтверджена експериментами з швидкими π-мезонами.

3. Тривалість подій. Нехай подія відбувається з об’єктом, який в системі К¹ не рухається, а відносно системи К рухається зі швидкістю υ. Тривалість події буде відповідно і . Перейдемо за допомогою перетворень координат (4.8) від К до К¹. Саме такий перехід а не навпаки вибраний із тих міркувань, що початок і кінець події в системі К¹ відбувається в одному і тому ж місці (), тоді як в системі К координати початку і кінця події різні . Одержуємо

,

або . (4.14)

Видно, що тривалість події τ в системі, відносно якої об’єкт рухається, більша, ніж в системі К¹, в якій об’єкт не рухається, тобто в рухомій системі час іде повільніше. Такий результат теорії був підтверджений експериментами. Нестійкі частинки космічних променів, мюони, мають час життя у власній системі відліку . Навіть при швидкості світла вони змогли б пройти відстань ~600м і до поверхні Землі не потрапили. Але їх фіксують на поверхні Землі так як час життя τ в системі, зв’язаній із Землею, збільшується.

У 1971 р. американські вчені Хафель і Кітінг провели дослід із атомними (цезієвими) годинниками. По чотири годинники (для надійності) були поміщені на Землі і на двох літаках, які потім облетіли Землю в західному і східному напрямках. Після приземлення виявилось, що годинники показували різний час

, . Розрахунки підтвердили формулу (4.14).

4. Правило додавання швидкостей. Продиференціюємо вирази (4.8)

; ; ; . Знайдемо проекції швидкості шляхом ділення на dt

; (4.15)

; (4.16)

. (4.17)

Або навпаки:

; ; . (4.18)

Приклад. Нехай джерело світла в знаходиться в системі К¹, яка рухається теж із швидкістю світла . У цій системі швидкість світла . Знайти швидкість світла в системі К

. Швидкість світла не залежить від швидкості руху джерела.

5. Імпульс в релятивістській динаміці. Імпульс Р – це добуток маси тіла на швидкість υ його руху. В релятивістській динаміці одержано вираз для імпульсу

. (4.19)

Тут – маса спокою частинки,

(4.20)

маса рухомого тіла, яка зростає із збільшенням швидкості (рис.4.6).

6. Енергія в релятивістській динаміці. Сила та імпульс зв’язані співвідношенням . Робота цієї сили іде на зміну кінетичної енергії тіла

Інтегруємо в межах від 0 до υ

. (4.21)

Кінетична енергія–це енергія руху, яка дорівнює різниці повної енергії

(4.22)

і енергії спокою . (4.23)

Із (4.21) знайдемо кінетичну енергію при малих швидкостях, коли . Позначимо . Розкладемо в степеневий ряд ),

обмежившись двома першими членами, дріб

. Одержимо

класичний вираз кінетичної енергії.

Отже ми впевнились, що формули релятивістської динаміки при малих швидкостях переходять у класичні.