2.1.2 Оценка устойчивости системы при помощи алгебраического критерия Гурвица

Критерий Гурвица использует для оценки выполнения условия устойчивости системы коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, выражение (24).

Первым условием устойчивости САУ по Гурвицу является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы :

с₀ = 0,05> 0; с₁ = 1> 0; c₂ = 3,58 > 0.

Вторым условие устойчивости является положительность всех определителей, составленных из коэффициентов характеристического полинома на основе таблицы Гурвица :

∆₂ = = с₁·с₂-(0·с₀) =1*3,58 - 0*0,05=3,58 > 0.

Критерий устойчивости Гурвица подтверждает устойчивость полученной системы, так как выполняются оба условия устойчивости.

2.1.3 Исследование влияния параметров на устойчивость системы.

Исследование проводится методом D – разбиений, и область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров системы: постоянная времени объекта управления T_о и коэффициент усиления объекта k_о. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы [1]. Для этой цели характеристический полином G(p) системы выражение (21) преобразуется таким образом, что вместо числовых значений исследуемых параметров в него бы вошли их буквенные обозначения(30):

С(p) = (T_о×p+1)p + k_о·k_им·k_д· k_р (29)

C(p) = (T_о×p+1)p + k_о×3,58 (30)

Преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс подстановкой p=jω в выражение (31) :

G(jω) = (T_о×jω+1) jω + k_о×3,58 (31)

Запишем условия для граничной устойчивости системы:

(32)

Решив систему уравнений граничной устойчивости найдем параметрические уравнения границы области устойчивости.

(33)

При ω=0: K=0, T=∞

Используем условия устойчивости:

с₀=0 и с₂=0, что дает T_о=0 и k_о=0.

Область устойчивости в соответствии с полученными выражениями показана на рис.14.

Рис. 14. Область устойчивости

Область допустимых значений - K_o > 0 и T_o > 0.

Правило штриховки. Для его применения найдем определитель[1]:

(34)

(35)

Таким образом,

Следовательно, определитель положителен для положительных частот и штриховка должна вестись от кривой при движении по ней в сторону возрастания частот.

Для проверки построений на графике нанесем точку (k_о,Т_о) (зависящие от ω). Примем точку А с координатами (1.18; 0,05); точка принадлежит полученной области устойчивости, следовательно область устойчивости построена верно.

2.2 Исследование качества системы

2.2.1 Уравнение переходного процесса в системе

Передаточная функция замкнутой системы [2]:

Ф(р) = , (36)

где: А(р) и G(p) – степень полинома от p, тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме будет иметь вид:

G(p)·y(p) = A(p)·x(p), (37)

где: р - оператор дифференцирования; y(p)- выходной сигнал системы; x(t)- входное воздействие.

По графику ЛАХ КП.2068.998-26-8-00.00.000Д1 определяем что для улучшения качества системы необходимо уменьшить частоту среза ω_ср[1]. Для данной системы наиболее удачно подходит пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления k_рег – 0,1[2]. Передаточная функция системы примет значение:

W(p) =, (38)

Входным воздействием принимается единичная ступенчатая функция x(t) = 1(t), а выражение G(p) подставим из (37), А(р) принимаем равным К. Тогда уравнение системы(38) примет следующий вид:

(0,05p²+p+3,58) *y(t)=3,58(t) (39)