10. Возможные критерии оптимизации и системы ограничений в моделях формирования производственной программы

Возможные критерии оптимальности (критерии оптимизации)

1) Максимум выпуска продукции в натуральных единицах:

2) Максимум прибыли:

3) Максимум производительности труда:

S- среднегодовая списочная численность промышленно –производственного персонала

t – годовой фонд времени одного рабочего,

dj- трудоемкость изготовления одного изделия j-го вида

r – процент перевыполнения норм

11. Экономическая интерпретация элементов оптимального решения моделей оптимизации производственной программы.

Рассмотрим экономическую интерпретацию элементов оптимального решения моделей оптимизации производственной программы на следующем примере.

Задача: Составить суточный план производства продукции с целью максимизации прибыли для кондитерского цеха, который выпускает два вида изделий. При этом нижний предел выпуска первого изделия (пряников) составляет 100 кг., второго изделия (печенья) – 70 кг.

Исходные данные приведены в таблице 1.

Табл 1.

ресурсы	Ед. измерения	Объем ресурсов, ед изм.	Норма расходов ресурсов на ед измер.
			Пряники	Печенье
Оборудование	Часы	800	3	4
Сырье	Кг	950	4	5
прибыль	руб		6	8

Составим числовую модель задачи. Обозначим через Х1 объем производства пряников, за Х2 – объем производства печенья.

3 Х1+4 Х2<=800

4 Х1+5 Х2<=950

Х1>=100

Х2>=70

Zmax =6Х1+8Х2

Х1, Х2 0

В результате решения задачи получены результаты: х1=100 кг., х2=110 кг., при этом значение критерия оптимальности равно 1480руб.

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 1480 руб. необходимо производить 100 кг.пряников и 110 кг.печенья; общий объем производимых кондитерских изделий составит 210 кг.

Помимо значений переменных в результате решения задачи получены значения двойственных оценок, приведенные в табл.2.

ограничение	Двойственная оценка(теневая цена)	Правая часть ограничения	Значение в левой части ограничения в оптимальном решении	Превышение правой части ограничений над значением левой части в оптимальном решении
1	2	3	4	5
3х1+4х2<=800 ресурсное ограничение (по оборудованию)	0	800	740	60
4x1+5x2<=950 ресурсное ограничение (по сырью)	1,6	950	950	0
x1>=100 объемное ограничение (по объему пряников)	-0,4	100	100	0
x2>=70 объемное ограничение (по объему печенья)	0	70	110	-40

Значения в четвертой колонке (значение левой части ограничения в оптимальном решении) по первым двум строкам показывают, сколько фактически использовано ресурсов в оптимальном плане. Так, для получения максимальной прибыли необходимо затратить 740 часов работы оборудования (3х100+4х110=740 часов) и 950 кг. сырья (4х100+5х110=950кг.) Тогда значения в пятой колонке по первым двум строкам показывают объем недоиспользуемого в оптимальном плане ресурса.

Экономический смысл двойственной оценки различается от вида ограничения, которому она соответствует (ресурсное или объемное).

Двойственная оценка по продукции показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу.

Поскольку критерий (целевая функция) на максимум - то отрицательное значение двойственной оценки характеризует невыгодность продукции; если же двойственная оценка положительна - то соответствующая продукция выгодна.

Экономический смысл нулевой двойственной оценки определяется знаком ограничения: если ограничение имеет знак "больше" - то продукция является выгодной, если знак "меньше" - продукция невыгодна.

В рассматриваемом примере двойственные оценки по объемным ограничениям приведены в третьей и четвертой строках (см.колонка 2).

Двойственная оценка по пряникам отрицательна, она показывает что при увеличении выпуска пряников на 1 кг. значение критерия оптимальности уменьшается на 0,4 руб. Поскольку критерий на максимум прибыли – то продукция является невыгодной: она производится на минимальном уровне в соответствии с ограничением (необходимо производить не меньше 100кг., фактически производим ровно 100 кг.)

Двойственная оценка по четвертому ограничению нулевая, в соответствии со знаком ограничения печенье является выгодным видом продукции: по плану необходимо произвести не менее 70 кг., в оптимальном плане производим 110 кг., таким образом нижняя граница плана перевыполнена на 40 кг. (см.5 колонка таблицы 2).

Двойственная оценка по ресурсу показывает, насколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение двойственной оценки, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью.

Если двойственная оценка по ресурсу равна нулю, то ресурс в оптимальном плане используется неполностью и является недефицитным (при увеличении ресурса на одну единицу критерий оптимальности не изменяется).

Оборудование является недефицитным ресурсом, поскольку двойственная оценка равна нулю, следовательно, при увеличении фонда времени работы оборудования критерий оптимальности не изменится. При этом имеющийся фонд времени загружен неполностью: из 800 часов времени работы оборудования используется только 740 часов, недозагружено 800-740=60 часов времени работы оборудования (см.табл.2).

Рассчитаем коэффициент загрузки оборудования путем деления фактически используемого в оптимальном плане фонд времени работы оборудования на фонд времени, имеющийся в наличии: К=740/800=92,5%. Таким образом, оборудование загружено на 92,5%.

Сырье является дефицитным ресурсом, поскольку двойственная оценка равна 1,6; это значит, что при увеличении объема сырья на 1 кг. критерий оптимальности возрастет на 1,6 руб. Сырье используется полностью, на уровне 950 кг. (см.табл.2). Ограниченное количество сырья является сдерживающим фактором при оптимизации производственной программы: увеличение сырья привело бы к более хорошему варианту оптимального плана – за счет производства большего объема продукции и прибыль была бы больше. Коэффициент использования сырья составляет 100%; таким образом, сырье используется лучше, чем оборудование на 7,5%.