Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Nugmanov

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.6 Mб
Скачать

1.Случайные процессы

1.1.Функция распределения случайного процесса

Детерминированный процесс полностью определяется значением аргумента t . Для случайного процесса нельзя задать однозначное соответствие между аргументом и значениями функции. Одному значению аргумента может соответствовать множество значений функции, одни из которых более вероятны, другие - менее вероятны.

Случайный процесс ξ(t) - это функция времени, которая при любом значении времени t есть случайная величина. Во время эксперимента наблюдаются конкретные значения x(t) случайного процесса ξ(t) , которые называются реализациями случайного процесса. Случайный процесс ξ(t) классифицируют по пространственно-временным признакам и по вероятностным характеристикам.

В общем случае и время t , и пространство значений x(t) случайного процесса ξ(t) принимают непрерывные значения. Такой процесс называется процессом общего типа, Рис. 1.1.

 

 

 

x(t)

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1

 

 

Рис. 1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

Рис. 1.3

Рис. 1.4

 

3

Если рассматриваются непрерывные значения времени t , а значения x(t) случайного процесса ξ(t) дискретны, то такой процесс называется дискретным процессом, Рис. 1.2. Если время t принимает дискретные значения, а значения x(t) случайного процесса ξ(t) непрерывны, то такой процесс называется последовательностью общего типа, Рис. 1.3.

Если время t принимает дискретные значения и значения x(t) случайного процесса ξ(t) тоже дискретны, то такой процесс называется дискретной случайной последовательностью, Рис. 1.4.

Для всех типов случайных процессов необходимо задать (определить) область ξ возможных значений x(t) случайного

процесса ξ(t) . В частности, случайный процесс ξ(t) может принимать значения в интервале ( , ) , т.е. ξ : x(t) .

Рассмотрим r реализаций x(1) (t1), x(2) (t1), , x(r) (t1) случайного процесса ξ(t) в момент времени t1 (Рис 1.5) и зададим некоторый порог x1. Из множества r реализаций выберем те m(x1, t1 )

реализаций,

значения которых не

превышают

x1.

Отношение

P m x1 , t1

называется частотой появления реализаций, значения

 

r

 

 

 

 

 

 

 

которых в момент t1

не превышают величины x1.

 

 

Для различных r частота P будет различной,

но с увеличением r

 

 

 

 

она стабилизируется, приближаясь

x(t)

r

 

2

к некоторой постоянной величине.

1

В

теории

 

вероятностей

 

 

 

 

 

 

доказывается,

 

что

при

 

 

 

 

неограниченном увеличении числа

 

 

 

 

независимых реализаций

r частота

 

 

 

t

P

будет сколь

угодно мало

t1

 

 

 

отличаться

от

вероятности

 

 

 

P ξ (t1) x1

 

того,

что

 

Рис. 1.5

 

 

 

 

 

 

наблюдаемые значения случайного

процесса ξ(t) в момент t1

не превышают некоторой постоянной

величины x1. Эта вероятность зависит от величины x1, времени t1 и

называется одномерной функцией распределения случайного процесса ξ(t)

4

W x1 , t1 P (t1 ) x1

(1.1)

Точно по такой же методике можно составить многомерную функцию распределения

Wξ (x1, x 2 , , x k , t1, t 2 , , t k )

P(x(t1) x1, x(t 2 ) x 2 , , x(t k ) x k ) ,

(1.2)

отражающую вероятность того, что значения случайного процесса в моменты времени t1, t 2 , , t k не превысят соответствующих значений x1, x 2 , , x k .

Таким образом, случайный процесс ξ(t) можно описать многомерной функцией распределения (1.2). Чем больше точек отсчета k функции распределения, тем более полно описан случайный процесс. Необходимое количество точек отсчета k в исследуемой функции распределения зависит от решаемой проблемы.

Для процесса общего типа и для последовательности общего типа вводится одномерная плотность распределения вероятности:

w(x,t) lim

P(x x, t) P(x, t)

 

dW(x,t)

(1.3)

x

dx

x 0

 

 

или многомерная плотность распределения вероятности,

w(x1, xk , t1, tk ) dk W(x1, xk , t1, tk ) . (1.4) dx1 dxk

Используя формулы (1.3) и (1.4) , запишем интегральные формы одномерной и многомерной функций распределения

 

x

 

W(x, t) w(x, t) dx ,

(1.5)

 

 

 

x1

xk

 

W(x1, x k , t1, t k )

w(x1, x k , t1, t k ) dx1 dx k

(1.6)

 

 

 

Для дискретного процесса и дискретной случайной последовательности вводится совместная вероятность того, что

случайный процесс находится в состояниях

x1, , x j в моменты

времени t1, , tk :

 

P ξ(t1) x1, , ξ(tk ) x j .

(1.7)

5

Одномерная и многомерная функции распределения дискретного процесса и дискретной случайной последовательности будут иметь

вид

P ξ(t) xi ,

W(x, t)

xi x

W(xm , , x j, t1, , tk )

P ξ(t1) xm , , ξ(tk ) x j , (1.8)

x1 x m x k x j

где xm ,..., x j - значения случайного процесса на дискретном множестве x .

Функция распределения вероятности обладает свойствами:

1. функция распределения является неубывающей функцией, т.е.

если x1 x2 , то W(x1, t1) W(x 2 , t 2 ) ,

0 W(x1, t1) 1,

0 W(x1, x k , t1, t k ) 1

2.

W( , t1) 0,

W(x1, , , , x k , t1, , t j , , t k ) 0,

W( , t1) 1, W( , , , t1, , t k ) 1.

3.

W(x1, x 2 , t1, t 2 )

 

W(x1, t1) W(x2 , t 2 / x1, t1) W(x2 , t 2 ) W(x1, t1 / x 2 , t 2 ), W(x1, x k , t1, , t k )

W(x1, t1) W(x 2 , t 2 / x1, t1) W(x k , t k / x k 1, t k 1, , x1, t1).

4. W( , x 2 , t1, t 2 ) W(x 2 , t 2 ),

W(x1, x j 1, , x j 1, , x k , t1, , t j , , t k )

W(x1, x j 1, x j 1, , x k , t1, , t k ).

Если ξ(t) - дискретный случайный процесс, то процесс описывается вероятностью P ξ(ti ) xk p(xk , ti ) - реализации x k случайного процесса в момент t ti , и функция распределения вероятности дискретного случайного процесса определена как

P ξ(ti ) x p(x j , ti ) .

x j x

Плотность распределения вероятности обладает следующим свойствами:

1.плотность распределения– неотрицательная функция w(x1, t1) 0, . . . , w(x1, x k , t1, t k ) 0,

6

2. должно соблюдаться условие нормировки

w(x1, t1) dx1 1,

w(x1, , x k , t1, , t k )dx1 dx k 1.

 

 

 

 

3. теорема умножения

 

 

w(x1, x 2 , t1, t 2 )

 

 

w(x1, t1) w(x 2 , t 2 / x1, t1) w(x 2 , t 2 ) w(x1, t1 / x 2 , t 2 ),

 

w(x1, x k , t1, , t k )

 

,

w(x1, t1 ) w(x 2 , t 2 / x1, t1 ) w(x k , t k / x k 1, t k 1, , x1, t1 )

где

w(x k , t k / x k 1, t k 1, , x1, t1) ,

( k 2, 3, ), - плотность

распределения вероятности случайного процесса при условии, что в моменты времени t1, , t k 1 процесса x1, x k 1.

4. w(x1, x 2 , t1, t 2 ) dx1 w(x 2 , t 2 ) ,

w(x1, , x j , , x k , t1, , t j , , t k ) dx j

ξ(t) в момент t k известны значения

w(x1, , x j 1, x j 1, , x k , t1, , t j 1, t j 1, , t k )

5.Размерность одномерной плотности распределения вероятности

-

1

, размерность многомерной

плотности

распределения

 

x

вероятности w(x1, x k , t1, t k ) -

1

, где

x

- размерность

 

x k

 

 

 

 

 

 

измеряемой величины (ток, напряжение, давление и т.д.).

7

1.2. Моментные функции случайного процесса

Плотность распределения вероятности w(x1, x k , t1, , t k ) и функция распределения вероятности W(x1, x k , t1, , t k ) полностью описывают случайный процесс ξ(t) . Функции распределения вероятности учитывают особенности случайного процесса. И чем больше точек отсчета t i , тем полнее описан процесс. Однако на практике часто встречаются задачи, в которых достаточно знать некоторые функции, характеризующие случайный процесс, такие как изменение среднего значения процесса во времени, энергию процесса, степень влияния одних значений процесса на другие и т. д. Эти функции называются моментными функциями случайного процесса.

Различают начальные, центральные и смешанные моментные функции.

Начальной моментной функцией k -го порядка называется неслучайная функция времени, которая имеет следующий вид

 

 

 

 

 

x

k

w(x, t) dx

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

 

(t)

 

 

 

 

 

mξ

(t)

 

ξ

 

 

 

 

 

 

xik p(xi , t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

где

 

ξ

- область

определения

для непрерывного сл. пр

для дискретного сл. пр.,

случайного процесса в момент

 

 

M

времени t , p(xi , t) P ξ(t) xi

i 1, 2, , M,

p(xi , t) 1 .

 

 

i 1

В частности, если k =1, начальная моментная функция первого порядка называется математическим ожиданием случайного процесса,

x(t)

 

Mξ(t) mξ (t).

 

m (t)

Математическое ожидание mξ (t)

 

 

характеризует

среднее

значение

 

случайного процесса по ансамблю

 

(по множеству всех реализаций) в

 

произвольный

момент

времени

t

(Рис.

1.6).

Размерность

Рис. 1.6

8

 

математического ожидания x – размерность измеряемой величины x.

Центрированной моментной функцией k -го порядка относительно величины mξ (t) называется неслучайная функция вида

 

 

 

(x m (t))

k

w(x, t) dx,

для непрерывного сл. пр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M( (t) m (t)) k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x i m (t)) k p(x i , t),

для дискретного сл.пр..

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

Центральная моментная функция второго порядка – дисперсия

случайного процесса

 

 

 

 

 

 

 

 

Dξ(t) σ

2

(t) M(ξ(t) m

ξ

(t))2

2 (t) (m

ξ

(t))2 .

 

 

ξ

 

 

 

 

 

 

Дисперсия Dξ(t) характеризует степень разброса значений случайного процесса около математического ожидания. Размерность дисперсии - x 2 – квадрат измеряемой величины x. Если ξ(t) - ток или напряжение, то дисперсия Dξ(t) пропорциональна мгновенной мощности, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом.

Смешанной моментной функцией (j, k)-го порядка называется неслучайная функция вида

M(ξ j (t

1

) ξ k (t

2

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

k

w(x1, x 2 , t1, t 2 ) dx1 dx 2 , для непрерывного сл. пр.,

 

 

x1 x 2

 

ξ ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(xi , x m , t1, t 2 ),

 

xijx mk

для дискретного сл. пр.,

 

 

m

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

где w(x1, x 2 , t1, t 2 ) - совместное распределение плотности

вероятности случайного процесса ξ(t)

в моменты времени t1, t 2 ,

p(xi , x m , t1, t 2 ) - совместная вероятность реализации значений xi и x m случайного процесса ξ(t) в моменты времени t1, t 2

В частности для j k 1имеем смешанную моментную функцию первого порядка, называемую корреляционной функцией -

Bξ (t1, t 2 ) M(ξ(t1) ξ(t 2 )).

Если значения случайного процесса центрированы относительно математического ожидания, для j k 1 имеем ковариационную функцию

9

 

 

 

 

 

B0 (t1 , t 2 ) M( (t1 ) (t 2 )) M(( (t1 ) m (t1 )) ( (t 2 ) m (t 2 )))

 

 

 

(x1

mξ (t1 )) (x 2 mξ (t 2 )) w(x1 , x 2 , t1 , t 2 ) dx1 dx 2 ,

 

 

 

ξ

ξ

 

 

 

 

 

 

(x i

mξ (t1 )) (x m mξ (t 2 )) p(x i , x m , t1 , t 2 ) .

 

 

m

 

 

 

i

 

 

Корреляционная и ковариационная функции характеризуют степень статистической связи между значениями случайного процесса в моменты времени t1 и t 2 и имеют размерность, равную

размерности квадрата измеряемой величины – [ x 2 ].

10

1.3. Стационарный случайный процесс

Ранее была произведена классификация случайных процессов по

времени и пространству значений случайного процесса. С точки

зрения вероятностных характеристик случайные процессы делятся на

стационарные и нестационарные. Стационарные процессы в свою

очередь подразделяются на процессы стационарные в узком смысле

(строго стационарные) и широком смысле.

Случайный процесс (t) называется стационарным в узком смысле, если функция распределения и плотность распределения инвариантны относительно сдвига во времени, т.е. они не меняются при любом сдвиге всей группы точек t1, t 2 , , t m вдоль оси времени на одну и ту же величину t 0 :

W(x1, , x m , t1, , t m ) W(x1, , x m , t1 t 0 , , t m t 0 ), w(x1, , x m , t1, , t m ) w(x1, , x m , t1 t 0 , , t m t 0 ).

Случайный процесс, не обладающий этим свойством, называется x(t) w(x) нестационарным в узком смысле. Стационарный случайный процесс - это установившийся процесс и реализуется при неизменных

внешних условиях.

 

t

Из стационарности в узком

Мм

 

смысле следует:

 

Рис. 1.7

 

-независимость

одномерной

 

 

 

 

функции

распределения

вероятности и плотности

распределения вероятности от времени,

(Рис. 1.7),

 

 

 

W(x1, t1) W(x1, t1 t 0 ) W(x1 ),

w(x1, t1) w(x1, t1 t 0 ) w(x1)

11

- двумерная функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности зависят от разности моментов времени t1, t 2

W(x1, x 2 , t1, t 2 ) W(x1, x 2 , t1 t 0 , t 2

t 0 )

 

W(x1, x 2 , t 2 t1) W(x1, x 2 , t1

t 2 ),

 

w(x1, x 2 , t1, t 2 ) w(x1, x 2 , t1 t 0 , t 2

t 0 )

(1.9)

w(x1, x 2 , t 2 t1) w(x1, x 2 , t1

t 2 ).

 

- многомерная плотность распределения вероятности запишется как

w(x1, x 2 , , x n , t1, t 2 , , t n )

 

w(x1, x 2 , , x n , t 2 t1, , t n t1)

(1.10)

В свою очередь соотношения (1.8), (1.9) позволяют записать

m

ξ

(t

1

) m

ξ

,

σ2

(t

1

) σ2

,

 

 

 

 

ξ

 

ξ

(1.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bξ (t1, t 2 ) Bξ (t 2 t1) Bξ (t1 t 2 ) Bξ (τ).

Как видно из приведенных формул, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная и

ковариационная функции зависят от разности моментов времени.

Стационарность в широком смысле. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если математическое

 

 

Bξ τ

ожидание

и

дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

процесса

не

зависят

от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

времени,

а ковариационная

 

 

 

 

 

 

 

и корреляционная функции

 

 

 

(m )2

зависят

от

разности

 

 

 

 

 

 

 

моментов времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

 

определений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.8

стационарности

в узком

и

 

 

 

 

 

 

 

12

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]