Nugmanov

π

Бесселя первого рода нулевого порядка [8].

Плотность распределения вероятности вида (2.37) называется плотностью распределения Райса.

Используя совместную плотность распределения вероятности

которая называется распределением Релея.

Фаза в этом случае распределена равномерно в интервале π, π . Математическое ожидание и дисперсия распределения Релея

равны соответственно

63

Наиболее общей характеристикой случайного процесса является многомерная функция распределения

P(x(t1) x1, x(t 2 ) x 2 , , x(t k ) x k )

Wξ (x1, t1) Wξ (x 2 , t 2 / x1, t1), ,

, Wξ (xi , t i / xi 1, ti 1, , x1, t1), , Wξ (x k , t k / x k 1, t k 1, , x1, t1).

Как видно, функция распределения в произвольный момент времени t i зависит от значений случайного процесса во все предыдущие моменты времени. Однако на практике существуют процессы, у которых значения процесса в какой-то момент времени t i зависят только от предшествующего момента ti 1. Такие процессы изучались Марковым А.А. и в его честь были названы марковскими. Многомерная функция распределения вероятности марковского процесса имеет вид

k

w ξ (x1, x 2 , x k , , t1, t 2 , , t k ) w ξ (x1, t1) w ξ (xi , t i / xi 1, t i 1). (2.41)

i 2

Из формулы (2.41) видно для описания марковского процесса достаточно знать одномерную и условные функции распределения вероятности.

В зависимости от состояния пространства значений и времени марковские процессы подразделяются на четыре вида [1], [9] по комбинациям пространства значений (непрерывное, дискретное) случайного процесса и времени (непрерывное, дискретное).

- непрерывный марковский процесс – пространство значений - непрерывно, время – непрерывно. Описывается при помощи функции (2.41) и плотности распределения вероятности (2.42)

k

w ξ (x1, x 2 , , x k , t1, t 2 , , t k ) w ξ (x1, t1) w ξ (xi , t i / xi 1, t i 1) , (2.42)

i 2

64

- марковская последовательность – пространство значений - непрерывно, время – дискретно. Описывается при помощи функции и плотности распределения вероятности (2.42), но моменты времени

t1 , t 2 , , t k принадлежат дискретному множеству,

-дискретный марковский процесс - пространство значений - дискретно, время – непрерывно. Описывается при помощи функции распределения вероятности и условными вероятностями перехода из одного состояния в другое

P(ξ(t1) x1, ξ(t 2 ) x 2 , , ξ(t m ) x m )

i 1

где x1, x 2 ,, , x m - произвольные дискретные значения, принимаемые случайным процессом из некоторого дискретного множества X в моменты времени t1, t 2 , , t m .

- цепь Маркова - пространство значений - дискретно, время – дискретно. Описывается при помощи функции распределения вероятности и условными вероятностями перехода из одного состояния в другое в дискретные моменты времени

P(ξ(t1) x1, ξ(t 2 ) x 2 , , ξ(t k ) x k )

i 2

где {x1, x 2 , , xi 1, xi , , x k } - произвольные дискретные значения, принимаемые случайным процессом из некоторого дискретного множества в дискретные моменты времени

{t1, t 2 , , ti 1, ti , , t k }.

Одним из примеров марковских процессов является блуждание точки, отображающий некоторый физический процесс, между границами, которые могут быть как поглощающими, так и отражающими.

2.7.1 Непрерывный марковский процесс

Запишем формулу (2.42) в виде

65

плотностью вероятности перехода из состояния xi 1 в состояние x i

процесс.

Исходя из общих свойств плотности распределения вероятности, отметим:

В литературе можно встретить название уравнение (2.46) – уравнение Смолуховского, уравнение Колмогорова-Чепмена.

Если условная плотность вероятности wξ (xi , ti / x k , t k ) зависит от разности моментов времени ti t k τ , то есть,

wξ (xi , ti / x k , t k ) wξ (xi , τ / x k ) ,

то такой процесс называется однородным во времени (стационарным) марковским процессом.

Колмогоровым А.Н. было получено дифференциальное уравнение, позволяющее найти условную плотность распределения вероятности при определённых допущениях.

66

2.7.2. Уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка

w ξ (y, T / x, t t) w ξ (y, T / z, t) w ξ (z, t / x, t t) dz

Предполагаем, что рассматриваемый процесс ξ(t) непрерывный, т.е. с малой вероятностью процесс ξ(t) может получить заметные приращения за малый промежуток времени. Непрерывность марковского процесса понимается в усиленном виде:

67

После подстановки разложения функции w ξ (y, T / z, t) в (2.50) имеем

выражении в пределе равно нулю вследствие (2.47). Второе

68

слагаемом пренебрежем членами второго порядка малости и оно

вычислений заключаем, что предел левой части (2.51) существует, т.е.

которое называется первым уравнение Колмогорова.

Запишем без доказательства второе уравнение Колмогорова

y и T вводятся через начальное условие w(y, T / x, T) δ(y x) . Второе уравнение Колмогорова называют уравнением,

обращенным в будущее. В этом случае переменными будут y и T t ,

69

условные плотности распределения. Оба уравнения Колмогорова принадлежат к параболическому типу дифференциальных уравнений.

Коэффициент a(x, t) характеризует среднюю скорость изменения процесса ξ(t) , а коэффициент b(x, t) пропорционален скорости изменения дисперсии процесса ξ(t) .

Рассмотрим частный случай второго уравнения Колмогорова - коэффициенты a(x, T) и b(x, T) не зависят ни от координаты x , ни от времени T , т.е. a(x, T) a, b(x, T) b . Тогда уравнение (2.53) будет иметь вид

Решением уравнения (2.56) будет

Как видно из (2.57) значения координаты x диффузионного процесса ξ(t) подчинены нормальному закону с дисперсией Dξ(t) b (T t) и математическим ожиданием Mξ(t) x a (T t) .

Величины a и b называются коэффициентами сноса и диффузии, соответственно. Они показывают изменение положения среднего значения величины x и величину разброса значения x около среднего значения со временем относительно начала отсчета (x, t) .

6.7.3 Винеровский процесс

Винеровским процессом η(t) называется случайный процесс на выходе идеального интегратора (Рис. 2.7), когда на его вход

Ввиду того, что операция интегрирования

70

является линейной операцией, значения процесса η(t) будут распределены по нормальному закону с математическим ожиданием Mη(t) 0 и ковариационной функцией

Как видно из (2.59), значение ковариационной функции зависит от значений моментов отсчета.

Определим дисперсию случайного процесса η(t) в момент

плотность мощности N0 / 2 остается постоянной, а меняется время,

Рис. 2.8. Как видно из рисунка, с увеличением времени наблюдения t плотность вероятности становится пологой, т.е. увеличивается разброс значений процесса около математического ожидания.

Запишем двумерную плотность распределения процесса η(t). Для этого вычислим нормированную ковариационную матрицу R η . Так как Mη(t) 0, то элементы ковариационной матрицы имеют вид

71

Винеровский процесс будет также марковским. Рассмотрим три момента времени ti 2 ti 1 ti и запишем трехмерную плотность вероятности

wη (yi 2 , yi 1, yi , ti 2 , ti 1, ti )

w η (yi 2 , ti 2 ) w η (yi 1, ti 1 / yi 2 , ti 2 ) w η (yi , t t / yi 1, yi 2 , ti 1, ti 2 )

Используя равенство (2.58), запишем

Из последней формулы видно, значения процесса в момент t i не зависит от момента времени t i 2 и поэтому можно записать

w η (yi 2 , yi 1, yi , ti 2 , ti 1, ti )

w η (yi 2 , ti 2 ) w η (yi 1, ti 1 / yi 2 , ti 2 ) w η (yi , t t / yi 1, ti 1) . (2.61)

Формулу (2.61) можно обобщить и получить формулу (2.41).

72