Nugmanov
.pdf
Рассматривая формулы (3.5) и (3.7), можно заключить, если на вход интегрирующей цепи воздействует стационарный случайный процесс при достаточно большом времени наблюдения случайный процесс на выходе интегрирующей цепи будет также стационарным. Мощность процесса η(t) определяется как
Bη (0) α N4 0 Вт .
Применение импульсной характеристики. Сигнал η(t) на выходе линейной системы зависит не только от значений сигнала ξ(t) в момент времени t , но и от реакции цепи на сигнал, поданный в предыдущие моменты времени т.е. от памяти цепи. Эта реакция учитывается функцией h(t) и называется импульсной характеристикой. Ввиду того, что система линейна, реакция цепи на входной сигнал в момент времени t складывается с реакцией цепи, образовавшейся от значений сигналов, поступивших в более ранние моменты времени, т.е. соблюдается принцип суперпозиции. Если цепь аналоговая, сигнал на выходе цепи описывается интегралом Дюамеля
|
|
|
|
|
|
η(t) |
h(t τ) ξ(τ) dτ |
h(τ) ξ(t τ) dτ |
(3.9) |
||
|
|
|
|
|
|
Предел |
интегрирования |
( ) учитывает реакцию цепи по |
|||
времени от |
до текущего момента t , а предел интегрирования |
||||
( ) учитывает реакцию цепи по времени от текущего момента t дона значения сигналов, которые поступят после момента времени t .
Импульсная характеристика является реакцией цепи на δ - функцию, т.е. является решением дифференциального уравнения вида
m |
di h(t) |
|
|
d jh(0) |
|
|
δ(t) bi |
, |
h(0) 0, |
0, j 1, 2, , m 1. |
|||
dti |
dt j |
|||||
i 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Радиотехнические цепи (радиотехнические системы) с точки зрения реализуемости делятся на две группы – физически реализуемые и физически нереализуемые системы. Система физически реализуема, если
0 для t τ
h(t τ) , (3.10)0 для t τ
83
т.е. отклик системы на возмущение не должен появиться ранее, чем будет приложено возмущение. Используя это условие, перепишем (3.9) в виде
|
t |
t |
η(t) |
h(t τ) ξ(τ) dτ |
h(τ) ξ(t τ) dτ . |
|
|
|
Система, имеющая импульсную характеристику h(t) , будет
устойчивой [4], если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ln |
K( jω) |
|
|
|
||||||||
|
|
h(t) |
|
dt или |
|
|
|
|
dω , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 ω |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где K( jω) - частотная |
характеристика системы, имеющая |
||||||||||||
импульсную характеристику h(t) .
Импульсная и частотная характеристики связаны между собой парой преобразований Фурье
|
|
|
|
|
K( jω) h(t) e jωt dt |
(3.11) |
|||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
h(t) |
K( jω) e jωt dω |
(3.12) |
||
2π |
||||
|
|
|
||
|
|
|
||
Учитывая физическую реализуемость фильтра, формулу (3.11) запишем в виде
|
|
K( jω) h(t) e jωt dt . |
(3.13) |
0 |
|
Пример: Покажем, что фильтр нижних частот с частотной
характеристикой вида K( jω) |
|
K( jω) |
|
|
e jωt0 , где |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
если |
|
ω |
|
ω0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
K( jω) |
|
|
если ω ω0 , ω ω0 |
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
- физически нереализуемая система. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e jω0 (t t0 ) e jω0 (t t0 ) |
|
|||||||||
h(t) |
1 |
|
0 |
|
K( jω) |
|
e jω(t t0 )dω |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π j(t t |
0 |
) |
|
||
|
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
84
|
ω0 |
|
sin( ω0 |
(t t 0 )) |
. |
π |
|
(ω0 (t t 0 )) |
|||
|
|
|
|||
Из этой формулы видно, что нарушается принцип причинности (3.10) и невозможно в принципе реализовать фильтр с указанной частотной характеристикой.
Если известна импульсная характеристика, используя интеграл Дюамеля, можно определить математическое ожидание и корреляционную функцию на выходе системы:
t |
|
Mη(t) h(t τ) Mξ(τ) dτ , |
(3.14) |
0 |
|
M(η(t1) η(t 2 )) Bη (t1, t 2 ) |
|
t1 t2 |
|
h(t1 τ1) h(t 2 τ2 ) M(ξ(τ1)ξ(τ2 )) dτ1 dτ2 . |
(3.15) |
0 0 |
|
Определим математическое ожидание и корреляционную функцию на выходе интегрирующей цепи, Рис(3.2), используя импульсную характеристику, если на вход действует шум с математическим ожиданием Mξ(t) mξ и корреляционной функцией
Bξ (t 2 t1) N20 δ(t 2 t1) .
Импульсная характеристика h(t) интегрирующей цепи определяется с помощью (3.4)
h(t) α e α t t |
δ(x) eα x dx α e α t , где |
|
α 1/(RС). |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим значения |
h(t), M(ξ(t)), Bξ (t 2 t1) |
в (3.14), |
(3.15) и |
||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mη(t) α mξ e α x dx mξ (1 e α t ) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 N0 |
t1 t2 |
|
α (t τ ) |
α (t |
|
τ ) |
|
|
|
|
|
|
B |
η |
(t |
1 |
, t |
2 |
) α |
|
|
|
e |
1 1 e |
|
2 |
2 δ(τ |
2 |
τ ) dτ dτ |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
α N0 e α τ 1 e 2α t . 4
Применение частотных характеристик. Будем считать, что известна спектральная плотность мощности Fξ (ω) стационарного
процесса ξ(t) на входе цепи. Необходимо определить спектральную плотность мощности Fη (ω) процесса η(t) на выходе линейной цепи,
(Рис. 3.5). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Для определения спектральной |
||
(t) |
|
|
|
(t) |
плотности |
мощности |
Fη (ω) |
||
|
K(j ) |
|
используем преобразование Винера– |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
F ( ) |
|
|
|
F ( ) |
Хинчина, предполагая, что известна |
||||
|
|
Рис. 3.5 |
корреляционная функция |
процесса |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
η(t), выраженная через импульсную |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
характеристику цепи. Затем используем связь импульсной характеристики и частотной характеристики цепи.
Предварительно сделаем замену переменных в (3.15) вида
t1 τ1 u, |
t 2 τ2 |
ν и |
подстановку t 2 t1 τ. После замены |
|
переменных имеем |
|
|
|
|
|
|
t1 t1 τ |
|
|
Bη (t1, t1 τ) |
h(u) h(ν) Bξ (τ ν u) du dν . |
|||
|
|
0 |
0 |
|
Ввиду того, что рассматривается установившийся процесс η(t),
положим Bη (t1, t1 τ) Bη (τ).
Подставим полученное выражение в преобразование Винера– Хинчина
Fη (ω) B(τ) e jωτdτ
t1 t1 τ
h(u) h(ν) Bξ (τ ν u) e j ω τdu dν dτ .
0 0
Сделаем подстановку τ z ν u , разделим интегралы и, так как рассматривается стационарный режим, заменим t1 на в пределах интегрирования. В результате имеем
86
|
|
|
|
||||
Fη (ω) |
Bξ (z) e j ω zdz h(ν) e j ω ν dν h(u) e j ω u du . |
|
|||||
|
0 |
0 |
|
|
|
||
Используя определение (3.13), запишем |
|
||||||
F (ω) F (ω) K( jω) K( jω) F (ω) |
|
K( jω) |
|
2 |
(3.16) |
||
|
|
||||||
η |
ξ |
ξ |
|
|
|
|
|
Вывод: спектральная плотность мощности на выходе линейной цепи пропорциональна спектральной плотности мощности на входе и квадрату модуля частотной характеристики линейной цепи, (фазовые зависимости отсутствуют).
Для сравнения приведем выражение спектральной функции на выходе линейной цепи при воздействии детерминированного сигнала sвх (t) со спектральной функцией Fвх ( jω) , (Рис. 3.6):
Fвых ( jω) Fвх ( jω) K( jω) |
|
Fвх ( jω) |
|
K( jω) |
|
e |
j(φвх (ω) φK (ω)) |
. |
(3.17) |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из сравнения формул (3.16) |
и (3.17) видно, что при воздействии на |
||||||||||||||||
линейную цепь детерминированного сигнала |
выходной |
сигнал |
|||||||||||||||
sвх(t) |
|
|
|
sвых(t) |
|
|
содержит как амплитудный, так |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
K(j ) |
|
|
|
и фазовый спектры. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Fвх(j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Fвых(j ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рис. 3.6
87
Литература
1.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники.- М.: Радио и связь, 1989. - 656 c.
2.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. - 512
3.Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь,
1982. - 624 c.
4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988 - 448 с.
5.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, Наука, М:, 1969, 656 с.
6.Рытов С.М., Введение в статистическую радиофизику. Ч.1. -
М.:Наука. 1976.- 494 с.
7.Пугачёв В.С. Теория случайных функций. – М.: Физматгиз,
1962. – 884 с.
8.Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. – М.: Наука,
1964. – 344 с.
9.Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ радиотехнических устройств и систем. – М.:Радио и связь. 1991. – 608 с.
10.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз.
1961. – 406 с.
11.Карлин С. Основы теории случайных процессов. – М.:Мир.
1971. – 536 с.
88
12. Физический энциклопедический словарь. – М.: Сов. энциклопедия. 1983. – 928 с.
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. Случайные процессы ............................................................................. |
3 |
|
1.1. Функция распределения случайного процесса ............................. |
3 |
|
1.2. Моментные функции случайного процесса .................................. |
8 |
|
1.3. Стационарный случайный процесс .............................................. |
11 |
|
1.4. Характеристическая функция случайного процесса.................. |
17 |
|
1.5. Дифференцирование и интегрирование ...................................... |
23 |
|
случайного процесса ............................................................................. |
23 |
|
1.6. Эргодические случайные процессы ............................................. |
27 |
|
1.7. Спектральная функция стационарного........................................ |
38 |
|
случайного процесса ............................................................................. |
38 |
|
2. Модели случайных процессов ............................................................ |
47 |
|
2.1. Детерминированный процесс как случайный процесс .............. |
48 |
|
2.2 |
Белый шум ....................................................................................... |
50 |
2.3 |
Нормальный случайный процесс .................................................. |
50 |
2.4 |
Каноническое разложение случайного процесса ........................ |
53 |
2.5 |
Квазидетерменированный случайный процесс ........................... |
57 |
2.6 |
Узкополосный случайный процесс ............................................... |
58 |
2.7 |
Марковские процессы..................................................................... |
64 |
2.7.1 Непрерывный марковский процесс......................................... |
65 |
|
2.7.2. Уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка............................ |
67 |
|
6.7.3 Винеровский процесс ............................................................... |
70 |
|
2.7.4. Марковские цепи...................................................................... |
73 |
|
2.7.5 Процесс Пуассона. Дробовой эффект..................................... |
76 |
|
89
3. Преобразование случайных процессов в линейных инерционных |
|
цепях .......................................................................................................... |
78 |
Литература ................................................................................................ |
88 |
90