Nugmanov

широком смыслах можно заключить, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но из стационарности в широком смысле не всегда следует стационарность в узком смысле.

На практике многие задачи решаются только лишь с использованием моментных функций не выше второго порядка, т.е.

иногда достаточно бывает знать функции распределения вероятности не выше второго порядка. Поэтому раздел теории случайных процессов, использующий распределения вероятностей не выше второго порядка, называется корреляционной теорией.

Свойства ковариационной и корреляционной функций.

1. Ковариационная и корреляционная функции есть четные функции,

т.е.

Bξ (t1, t 2 ) Bξ (t 2 t1) Bξ (t1 t 2 ) Bξ (τ) Bξ ( τ).

Это следует из определения ковариационной и корреляционной функций.

2.Для стационарного процесса имеем (Рис. 1.8)

Bξ (τ) B0ξ (τ) mξ2 .

3.B0ξ (0) Dξ(t) .

Для доказательства этого свойства рассмотрим ковариационную функцию B0ξ (τ) при τ 0

M(ξ(t) mξ (t))2 Dξ(t) .

13

2)Введем R* (τ) - огибающую нормированной корреляционной

решения равенства

Рассмотрим частный случай, когда время корреляции τ принимает дискретные значения

τ t 2 t1 k t . Установим связь между значениями коэффициента

ξ1, ξ1, , ξn , распределенных по одному и тому же закону с одинаковыми математическими ожиданиями m и одинаковыми дисперсиями σ2 .

Коэффициент корреляции Ri j является элементом корреляционной матрицы

15

и вычисляется как

времени ti и пусть i 0,1, , n 1. Так как ковариационная функция процесса ξ(t) рассматривается в дискретные моменты времени и на конечном интервале времени, равном n t , коэффициент корреляции случайного процесса ξ(t) удобно представить через корреляционную матрицу

R( t)

совпадают со значениями коэффициента корреляции системы случайных величин ξ1, ξ1, , ξn , если τ i j t .

16

четная функция, то плотность распределения вероятности w ξ (x) -

симметричная функция.

Одним из удобств применения характеристической функции является легкость нахождения моментов распределения вероятности.

Продифференцируем θξ (v) :

18

Из этого выражения получим моменты k-го порядка:

Если существуют моменты любого порядка, то разложение характеристической функции в ряд Тейлора в точке v 0 имеет вид

На практике часто приходится сталкиваться с поиском функции и плотности распределения вероятности суммы независимых случайных величин ξi с известными характеристическими функциями θξi (v) . Согласно определению (1.16) характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций, т.е.

Формула (1.15) позволяет вычислить плотность распределения вероятности суммы независимых случайных величин.

Другой функцией, которая характеризует моменты случайной величины, является кумулянтная функция. Кумулянтной функцией случайной величины ξ называется логарифм характеристической функции

19

Кумулянтная функция может быть разложена ряд по степеням v в

точке v0 0 . Для этого рассмотрим разложение функции ln(1 z) в

Возведя в соответствующие степени выражения в круглых скобках и собрав все члены с одинаковыми степенями относительно членов j v , получим степенной ряд вида

20

21

Введем обозначения m 3 m , σ2 3 σ2 .

ξ i 1 ξi ξ i 1 ξi

Тогда характеристическая функция суммы случайных величин

равна

Но полученная формула представляет характеристическую функцию нормально распределенной случайной величины с параметрами mξ , σξ2 .

Для многомерных случайных величин ξ1, ξ n можно также записать характеристическую функцию

Соответственно можно записать совместную плотность распределения вероятности

Определение и свойства характеристической функции перенесем

на случайный процесс

22