§ 6.1. Векторні умови рівноваги довільної системи сил

Згідно з основною теоремою статики (тема 5 §2) довільна система сил ( ) при зведенні до заданого центра може бути замінена більш простою системою, еквівалентною даній, що складається із однієї си­ли і однієї пари сил з моментом .

Визначимо умови, при яких довільна система сил еквівалентна нулю, тобто умови її рівнова­ги. Доведемо наступну теорему.

Теорема. Для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор цієї системи і її головний момент відносно довільно вибраного центра зведення одночасно дорівнювали нулю:

=0; =0, (6.1)

або

(6.1^/)

Доведення. Необхідність. Припустимо, що задана система сил знаходиться в рівновазі. Покажемо, що тоді виконується умова (6.1). Дійсно, якщо, наприклад, але = 0, то задана система сил зводилася б до рівнодійної , прикладеної в центрі зведення О , і рівноваги не було. Якщо = 0, але , то задана система сил звелась до однієї пари і рівноваги також не було, а також, коли і , оскільки сила і пара не можуть зрівноважити одна одну.

Достатність. Нехай для довільної просторової системи сил вико­нуються умови (6.1). Очевидно, що така система сил еквівалентна нулю, тобто знаходяться в рівновазі.

Теорему доведено.

Рівність(6.1) виражає умови рівноваги довільної просторової системи сил в векторній формі.

§6.2. Теорема Варіньйона про момент рівнодійної довільної системи сил

Теорема. Якщо довільна система сил має рівнодійну, то мо­мент цієї рівнодійної відносно довільного центра дорівнює геометричній сумі моментів усіх сил системи відносно цього самого центра, а момент рівнодійної відносно довільної осі дорівнює сумі моментів усіх сил системи відносно тієї самої осі.

Д оведення. Нехай система сил ( ) має рівнодійну , прикладену в точці А (рис. 6.1). Прикладемо в точ­ці А зрівноважуючу силу , рівну і протилежно спрямовану рі-

рівнодійній =- . Тоді система сил ( ) буде зрівноваженою, тобто знаходитимеся в рівновазі, і тому її головний момент відносно довільної точки 0 дорівнює нулю:

. (6.2)

Оскільки =- , то

і, отже,

.

Звідси одержуємо формулу, яка є математичним записом теореми Варіньйона:

. (6.3)

Проведемо через точку 0 прямокутну систему координат O_xyz і спроектуємо на її осі рівняння (6.3). Як було показано в темі 3,

Таким чином, одержимо теорему Варіньйона в проекціях на осі декартової системи координат:

(6.3’)

Теорему доведено.

У випадку плоскої системи сил було введено поняття алгебраїч­ного момента сили відносно точки. Тому геометрична су­ма моментів усіх сил відносно точки на площині чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів сил відносно цієї самої точки. Враховуючи формули (6.3), (6.3’) і зроблене зауваження, сформулюємо теорему Варіньйона для плоскої системи сил.

Теорема. Якщо довільна плоска система сил має рівнодійну , то момент цієї рівнодійної відносно довільного центра 0 , який ле­жить на площині, дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил систе­ми відносно цього самого центра 0 :

. (6.4)

Надалі вияснимо, як аналітично знайти головний вектор і головний момент довільної просторової системи сил, встановимо аналітичні умови її зрівноваження, а також розглянемо можливі часткові випадки зведення цієї системи сил і умов її зрівноваження.