Розділ IX. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Розділ IX Диференціальне числення функцій кількох змінних

Якщо кожній парі значень двох незалежних одна від одної змінних величиніз деякої областівідповідає певне значення величини, тоді величинаєфункцією двох незалежних змінних і, яка визначена в області. Позначається така функція:

або .

Значення функції у точцізнаходять за формулою:

.

Графіком функції єповерхня (рис. 9.1). Область визначення (існування) функції – це множинавсіх таких точокплощини(рис. 9.1), для яких виразмає зміст і дає дійсні значення.

Рис. 9.1

Область визначення функції може представляти собою:

1) частину площини , обмежену деякою кривою, при чому точки цієї кривої можуть як належати області визначення, так і ні;

2) всю площину ;

3) сукупність декількох частин площини .

Приклад 1. Знайти область визначення функції . Зобразити її графічно. Розв’язання. Область визначення функції зображена на рис. 9.2 (заштрихована частина).

Рис. 9.2

Аналогічним чином визначається функція більшого числа змінних:

–функція трьох незалежних змінних;

–функція незалежних змінних.

Область визначення функції трьох незалежних змінних може представляти собою:

1) частину простору , обмежену деякою поверхнею,причому сама поверхня може як належати області визначення, так і ні;

2) весь простір ;

3) сукупність декількох частин простору .

Поверхні другого порядку

Еліптичний циліндр Частинний випадок: круговий циліндр ()	Рис. 9.3
Гіперболічний циліндр	Рис. 9.4
Параболічний циліндр ()	Рис. 95
Тривісний еліпсоїд	Рис. 9.6
Сфера	Рис. 9.7
Еліптичний параболоїд	Рис. 9.8
Гіперболічний параболоїд	Рис. 9.9
Однопорожнинний гіперболоїд	Рис. 9.10
Двопорожнинний гіперболоїд	Рис. 9.11
Конус	Рис. 9.12

Диференціювання функції кількох змінних

Якщо одна із незалежних змінних функції , наприклад, отримала приріст, то різниця

називається частинним приростом функції .

Відповідно, .

Якщо існує границя (що не дорівнює нескінченності), яка не залежить від способу прямування, тоді ця границя називаєтьсячастинною похідною (першого порядку) функції по незалежній зміннійі позначається

, або , або, або, або.

Аналогічно визначається частинна похідна по змінній :.

Так само визначаються частинні похідні функції трьох і більшого числа змінних.

Обчислення частинних похідних функції кількох змінних здійснюється як для функції однієї незалежної змінної, причому вважають всі незалежні змінні, крім тої по якій диференціюють, постійними величинами.

Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку функції

.

Розв’язання.

;

.

Частинні похідні другого порядку є частинними похідними від похідних першого порядку.

Частинні похідні другого порядку для функції :

, (9.1)

, (9.2)

, (9.3)

, (9.4)

де (9.1) і (9.2) – “чисті похідні ” другого порядку;

(9.3) і (9.4) – “мішані похідні ” другого порядку.

Приклад 3. Знайти похідні другого порядку від функції

Розв’язання.

;

;

Якщо мішані частинні похідні одного порядку неперервні, тоді їх значення не залежать від порядку диференціювання.

Зокрема, для функції :