§ 3.2. Момент сили відносно осі

Вивчаючи просторові системи сил, будемо використовувати поняття моменти сили відносно осі.

Моментом сили відносно осі називається проекція на вісь вектора моменту сили відносно будь-якої точки, що лежить на цієї осі.

Визначити момент сили відносно осі можна таким чином: спроектувати силу на площину, перпендикулярну до осі; знайти точку перетину осі з цією площиною; визначити алгебраїчний момент одержаної проекції відносно точки перетину осі з площиною, який і буде шуканим моментом даної сили відносно осі.

Дійсно (рис. 3.3)

але При цьому, з точністю до знака,

що і треба було довести.

Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила паралельна до осі ( | | Oz ), або лінія дії сили перетинає вісь (h = 0 ).

Ці дві умови еквівалентні одній: момент сили відносно осі дорівнює нулю, коли сила і вісь лежать в одній площині.

Оскільки момент сили відносно осі то з прийнятим правилом знаків моментів відносно центру випливає, що момент сили відносно осі додатний, якщо, дивлячись з кінця осі бачимо, що проекція цієї сили на площину перпендикулярної до осі, намагається обертати тіло навколо осі проти ходу стрілки годинника (рис. 3.4, а). Якщо обертання відбувається у напрямі руху стрілки годинника то момент сили відносно осі буде від’ємним (рис.3.4, б).

Пара сил

Парою сил називається система двох паралельних сил, рівних за модулем і напрямлених у протилежні боки.

§ 4.1. Елементи пари сил

Нехай до деякого абсолютно твердого тіла прикладено пару сил ( ) (рис. 4.1, а).

Згідно з означення пари сил

;

Елементи пари: дві сили, що складають пару; плече пари; площина дії пари.

Плече пари – це відстань між лініями дії сил пари, тобто довжи­на перпендикуляра , поставленого з довільної точки лінії дії однієї із сил пари на лінію дії другої сили (рис. 4.1,а). Оскільки сила – ковзний вектор, то сила в парі завжди можна розмістити так, щоб від­стань між точками їх прикладання була плечем пари (рис. 4.1, б).

Площина дії пари – це площина, в якій розміщені сили пари.

Система пар сил – це сукупність пар сил, прикладених до одного твердого тіла.

§ 4.2. Момент сил пари та момент пари сил

Теорема. Сума моментів сил пари відносно довільного центра в просторі є величиною сталою для даної пари і називається векторним моментом цієї пари.

Доведення. Нехай задано пару сил ( ), плече якої AB=h (рис. 4.2). Оскільки дія пари на тіло характеризується обертальним ефектом, знайдемо суму моментів сил пари відносно центра О, довільно розміщеного в просторі. Одержимо:

(4.2)

де - радіуси-вектори точок прикладання сил і відносно центра О. З урахуванням формул (4.1) рівність (4.2) запишеться так:

(4.3)

Тут - радіус-вектор точки А , у якій прикладено силу пари, відносно центра В , а тому . Отже,

(4.4)

Відомо, що вектор перпендикулярний до площини векторів ВА і , а його модуль

. (4.5)

Аналогічно, врахувавши що і , одержимо

де вектор перпендикулярний до площини векторів і , а,

. (4.6)

Отже, доведено, що сума моментів сил пари відносно довільного центра в просторі не залежіть від вибору цього центра і дорівнює моменту однієї із сил пари відносно точки прикладання іншої сили.

Ця сума моментів характеризує обертальну дію пари сил на тіло і назвемо її моментом пари сил. Позначимо момент пари сил , або просто . Отже,

. (4.7)

Теорему доведено.

З доведення теореми випливає, що момент пари сил є вектором. Визначимо його величину і напрямок.