2. Метод симетрії.

Якщо однорідне тіло має площину геометричної симетрії, то центр ваги цього тіла лежить у цій площині.

Доведемо це твердження. Нехай однорідне тіло має площину симетрії. Проведемо в цій площині осі Ох і Оу (рис. 8.5). Внаслідок симетрії для частинки М_і тіла, з координатами ( ) існує частинка М_і такого самого об’єму з координатами ( ). Тому в формулах (8.3) а значить, і , тобто центр ваги однорідного тіла лежить у площ ині симетрії.

Аналогічно можна довести й наступне:

1). Якщо однорідне тіло має вісь геометричної симетрії, то центр ваги знаходиться на цій осі.

2). Якщо однорідне тіло має центр геометричної симетрії, то центр ваги тіла збігається з цим центром.

3. Метод розбиття.

Положення центра ваги тіла можна визначити, якщо розбити його на такі частинки, центра ваги яких відомі, або їх легко можна визначити. Нехай потрібно визначити положення центра ваги деякої плоскої фігури (рис. 8.6). Розіб’ємо фігуру на три частини, для яких координати центрів ваги і а площі яких легко визначити, коли відомі геометричні розміри. Тоді координати центра ваги визначимо за залежностями (8.6):

(8.13)

Рис. 8.6

4. Метод доповнення.

Ц ей метод є частковим випадком методу розбиття і використовується, зокрема, для тіл, які мають вирізи (рис. 8.7). Знаючи площу S₁ всієї фігури і координати і її центра ваги, а також величини S₂ і , вирізаної з фігури частини, можна вирахувати координати центра ваги плоскої фігури з вирізом за залежностями (8.13), приймаючи в них площу вирізаної частини від’ємною:

(8.14)

5. Метод інтегрування.

Якщо тіло не можна розбити на кілька частин, положення центрів ваги яких відомі, або їх легко знайти, то тіло ділять на елементарні частини, число яких прямує до нескінченності, а розміри (об’єм, площа і довжина) кожної частини прямують до нуля. Тоді суми у виразах (8.3), (8.6), (8.11) будуть інтегралами за всім об’ємом, площею або довжиною.

Отже, вирази для координат центра ваги об’єму наберуть вигляду

(8.15)

де - об’єм тіла.

Координати центра ваги плоскої фігури

(8.16)

де - площа плоскої фігури.

Координати центра ваги лінії

(8.17)

§ 8.6. Центр ваги деяких ліній, площ і об’ємів

а) Центр ваги площі трикутника. Розіб’ємо площу трикутника АВD (рис. 8.8) прямим, паралельними стороні АD , на велику кількість вузьких смужок, які можна розглядати як відрізки прямої лінії. Центр ваги кожної такої лінії лежить на її середині, тобто на медіані КВ трикутника АВD . Значить, і центр ваги площі трикутника лежить на цій медіані. Розмірковуючи аналогічно, приходимо до висновку, що цей центр лежить і на інших медіанах трикутника: DМ і АN . А це значить, що центр ваги площі трикутника збігається з точкою перетину його медіан. При цьому слід пригадати, що

(8.18)

б) Центр ваги дуги кола. Нехай маємо дугу АВ кола радіус R з центральним кутом 2α (рис. 8.9). Виберемо систему координат так, щоб вісь Oх була віссю симетрії дуги АВ . Згідно з § 8.5, центр ваги дуги лежатиме на осі Oх , тобто . Знайдемо координату методом інтегрування. Для цього виділимо на дузі АВ елемент положення якого визначається кутом  . Тоді координата х виділеного елемента буде

Підставимо ці значення в першу формулу залежності (8.17), отримаємо

(8.19)

де кут α вимірюється в радіанах.

Для дуги півкола ( ) дістанемо

в) Центр ваги площі кругового сектора. Виділимо в круговому секторі ОАВ (рис.8.10) з центральним кутом 2α елемент dS , положення якого визначається величинами r i . Для визначення координати скористаємося залежністю

де . Тоді

(8.20)

Для сектора півкруга ( ) матимемо